《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 已知抛物线$y = ax^{2}+kx + h(a＞0)$，通过配方可以将其化成顶点式为________________.

答案： $y = a\left(x+\dfrac{k}{2a}\right)^{2}+\dfrac{4ah - k^{2}}{4a}$

10. 二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$的部分图像如图所示，其与$x$轴的一个交点坐标为$(3,0)$，对称轴为直线$x = 1$，则当$y＜0$时，$x$的取值范围是____________.

答案： $x＜-1$ 或$x＞3$

11.（2024·聊城）在平面直角坐标系中，点$P(2,-3)$在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3(a＞0)$的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线$x = m$.
（1）求$m$的值.
（2）若点$Q(m,-4)$在函数$y = ax^{2}+bx - 3$的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像. 当$0\leq x\leq4$时，求新的二次函数的最大值与最小值的和.

答案：
(1) $\because$ 点$P(2,-3)$在二次函数$y = ax^{2}+bx - 3(a＞0)$的图像上，$\therefore 4a + 2b - 3 = - 3$，即$b = - 2a$.$\therefore$ 二次函数的表达式为$y = ax^{2}-2ax - 3$.$\because-\dfrac{-2a}{2a}=1$，$\therefore$ 该二次函数图像的对称轴为直线$x = 1$.$\therefore m = 1$
(2) $\because$ 点$Q(1,-4)$在函数$y = ax^{2}-2ax - 3$的图像上，$\therefore a - 2a - 3 = - 4$，解得$a = 1$.$\therefore$ 二次函数的表达式为$y = x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$. 将它的图像向上平移$5$个单位长度，得到新的二次函数的图像对应的函数表达式为$y=(x - 1)^{2}-4 + 5=(x - 1)^{2}+1$.$\because 0\leqslant x\leqslant4$，$\therefore$ 当$x = 1$时，函数取得最小值，为$1$，当$x = 4$时，函数取得最大值，为$(4 - 1)^{2}+1 = 10$.$\therefore$ 新的二次函数的最大值与最小值的和为$10 + 1 = 11$

12. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1$的顶点为$A$，点$B$的坐标为$(3,5)$.
（1）求抛物线过点$B$时顶点$A$的坐标.
（2）点$A$的坐标记为$(x,y)$，求$y$关于$x$的函数表达式.
（3）如图，点$C$的坐标为$(0,2)$. 若抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1$与线段$BC$只有一个交点，则$m$的取值范围是________________.

答案：
(1) $\because$ 抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1$过点$B(3,5)$，$\therefore$ 把$B(3,5)$代入$y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1$. 整理，得$m^{2}-4m + 3 = 0$，解得$m_{1}=1,m_{2}=3$. 当$m = 1$时，$y = x^{2}-2x + 2=(x - 1)^{2}+1$，其顶点$A$的坐标为$(1,1)$；当$m = 3$时，$y = x^{2}-6x + 14=(x - 3)^{2}+5$，其顶点$A$的坐标为$(3,5)$. 综上所述，顶点$A$的坐标为$(1,1)$或$(3,5)$
(2) $\because y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1=(x - m)^{2}+2m - 1$，$\therefore$ 顶点$A$的坐标为$(m,2m - 1)$. 由$\begin{cases}x = m,\\y = 2m - 1,\end{cases}$ 得$y = 2x - 1$.$\therefore y$ 关于$x$的函数表达式为$y = 2x - 1$
(3) $-3\leqslant m\leqslant3$且$m\neq1$ 解析：由
(2)，可知抛物线的顶点在直线$y = 2x - 1$上运动，且形状不变. 由
(1)，可知当$m = 1$或$3$时，抛物线过点$B(3,5)$. 把$C(0,2)$代入$y = x^{2}-2mx + m^{2}+2m - 1$，得$m^{2}+2m - 1 = 2$，解得$m = 1$或$m = - 3$.$\therefore$ 当$m = 1$或$m = - 3$时，抛物线经过点$C(0,2)$. 注意到当$m = - 3$或$m = 3$时，抛物线与线段$BC$只有一个交点(即线段$BC$的端点)，且当$m = 1$时，抛物线同时过点$B$、$C$，不合题意，从而$m$的取值范围是$-3\leqslant m\leqslant3$且$m\neq1$.