《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

7. （2024·陕西）如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H. 若AB = 6，CE = 2，则DH的长为 （ ）
A. 2 B. 3 C. $\frac{5}{2}$ D. $\frac{8}{3}$
　　　　　　　　　

答案： B

8. 如图，AD是△ABC的中线，AE = EF = FC，BE交AD于点G，连接DF，则$\frac{GE}{DF}$的值为_______.
　　　　　

答案： $\frac{1}{2}$

9. （2023·岳阳）如图，在⊙O中，AB为直径，BD为弦，C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，连接AC，交BD于点F，以C为切点的切线与AB的延长线交于点E，连接CD. 若$\frac{CF}{AF}=\frac{1}{3}$，则$\frac{CE}{AE}$的值为_______.
　　　　　

答案： $\frac{1}{2}$ 解析：连接$OC$. 根据垂径定理，易得$OC \perp BD$. 由切线的性质，得$OC \perp EC$. $\therefore EC // BD$. 利用平行线分线段成比例，得$\frac{EB}{AB} = \frac{CF}{AF} = \frac{1}{3}$. 设$EB = x$，则$AB = 3x$. $\therefore OB = OC = \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}x$. $\therefore EO = EB + OB = \frac{5}{2}x$. 在$Rt\triangle OCE$中，根据勾股定理，可得$EC = \sqrt{EO^{2} - OC^{2}} = 2x$. $\therefore \frac{CE}{AE} = \frac{2x}{x + 3x} = \frac{1}{2}$.

10. 如图，在△ABC中，DE//BC，∠ADE = ∠EFC，AD∶BD = 5∶3，CF = 6.
（1）直接指出图中所有的相似三角形；
（2）求DE的长.
　　　　　　

答案： （1）$\triangle ADE \backsim \triangle ABC$；$\triangle EFC \backsim \triangle ABC$；$\triangle ADE \backsim \triangle EFC$ （2）$\because DE // BC$，$\therefore \angle ADE = \angle B$. $\because \angle ADE = \angle EFC$，$\therefore \angle B = \angle EFC$. $\therefore AB // EF$，即$BD // EF$. $\therefore$四边形$BDEF$为平行四边形. $\therefore DE = BF$. $\because DE // BC$，$AD:BD = 5:3$，$\therefore \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{5}{3}$. $\because AB // EF$，$\therefore \frac{AE}{EC} = \frac{BF}{CF} = \frac{5}{3}$. $\because CF = 6$，$\therefore BF = 10$. $\therefore DE = 10$

11. 如图，在△ABC中，D是AC的中点，△ABC的角平分线AE交BD于点F，交BC于点E. 若BF∶FD = 3∶1，AB + BE = 3$\sqrt{3}$，求△ABC的周长.
　　　　　

答案：
如图，过点$F$作$FM \perp AB$于点$M$，$FN \perp AC$于点$N$，过点$D$作$DT // AE$，交$BC$于点$T$. $\because AE$平分$\angle BAC$，$FM \perp AB$，$FN \perp AC$，$\therefore FM = FN$. $\because BF:FD = 3:1$，$\therefore S_{\triangle ABF}:S_{\triangle ADF} = 3:1$. $\therefore AB = 3AD$. $\because D$是$AC$的中点，$\therefore AD = CD$. $\therefore AB = \frac{3}{2}AC$. $\because DT // AE$，$\therefore \frac{AD}{CD} = \frac{ET}{CT}$. $\therefore ET = CT$. $\because DT // AE$，即$FE // DT$，$\therefore BF:FD = BE:ET = 3:1$. $\therefore BE = \frac{3}{2}CE$. $\therefore AB + BE = \frac{3}{2}(AC + CE)$. $\because AB + BE = 3\sqrt{3}$，$\therefore AC + CE = 2\sqrt{3}$. $\therefore \triangle ABC$的周长为$AB + AC + BC = (AB + BE) + (AC + CE) = 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3} = 5\sqrt{3}$