《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

9. 如图，正方形$ABCD$的面积为$3$，点$E$在边$CD$上，且$CE = 1$，$\angle ABE$的平分线交$AD$于点$F$，$M$、$N$分别是$BE$、$BF$的中点，则$MN$的长为（ ）


A. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $2 - \sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$

答案： D 解析：连接EF，由正方形ABCD的面积为3，CE = 1，得DE = $\sqrt{3}-1$，$\tan\angle EBC=\frac{CE}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，即∠EBC = 30°.
∵ BF平分∠ABE，
∴ ∠ABF = $\frac{1}{2}\angle ABE = 30^{\circ}$.
∴ AF = AB·$\tan 30^{\circ}=1$.
∴ DF = AD - AF = $\sqrt{3}-1$. 由DE = DF，可知△DEF为等腰直角三角形，
∴ EF = $\frac{DE}{\sin 45^{\circ}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$，结合三角形的中位线定理，得MN = $\frac{1}{2}EF=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$.

10. 在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AB = 2$，$BC = \sqrt{3}$，则$\sin\frac{A}{2}$的值为______.

答案： $\frac{1}{2}$

11. （2024·深圳）如图，在矩形$ABCD$中，$BC = \sqrt{2}AB$，$O$为$BC$的中点，$OE = AB = 4$，则扇形$EOF$的面积为______.

答案： $4\pi$ 解析：
∵ OE = AB = 4，
∴ BC = $\sqrt{2}AB = 4\sqrt{2}$.
∵ O为BC的中点，
∴ OB = OC = $\frac{1}{2}BC = 2\sqrt{2}$.
∵ 四边形ABCD为矩形，
∴ ∠OBE = 90°.
∴ 在Rt△EBO中，$\cos\angle BOE=\frac{OB}{OE}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
∴ ∠BOE = 45°. 同理可求∠COF = 45°，
∴ ∠EOF = 180° - ∠BOE - ∠COF = 90°.
∴ $S_{扇形EOF}=\frac{90}{360}\times\pi\cdot OE^{2}=4\pi$.

12. （2024·泸州）定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移$a(a ＞ 0)$个单位长度，再绕原点按逆时针方向旋转$\theta$角度，这样的图形运动叫做图形的$\rho(a,\theta)$变换. 如：点$A(2,0)$按照$\rho(1,90^{\circ})$变换后得到点$A'$的坐标为$(-1,2)$，则点$B(\sqrt{3}, - 1)$按照$\rho(2,105^{\circ})$变换后得到点$B'$的坐标为______.

答案： $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$

13. 在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$上的高，$AD = 2$，$AB = 2\sqrt{2}$，$CD = 2\sqrt{3}$. 求$\angle BAC$的度数.

答案： 分两种情况讨论：① 当AC、AB位于AD的两侧时，在Rt△ABD中，$\cos\angle BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则∠BAD = 45°. 在Rt△ACD中，$\tan\angle CAD=\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，则∠CAD = 60°.
∴ ∠BAC = ∠BAD + ∠CAD = 45° + 60° = 105°. ② 当AC、AB位于AD的同侧时，同①，易得∠BAD = 45°，∠CAD = 60°，则∠BAC = ∠CAD - ∠BAD = 60° - 45° = 15°. 综上所述，∠BAC的度数为105°或15°

14. 如图，要想使人安全攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角$\alpha$要满足$60^{\circ}\leqslant\alpha\leqslant75^{\circ}$，现有一架长$5.5\ \text{m}$的梯子（参考数据：$\sin75^{\circ}\approx0.97$，$\cos75^{\circ}\approx0.26$，$\tan75^{\circ}\approx3.73$，$\sin23.6^{\circ}\approx0.40$，$\cos66.4^{\circ}\approx0.40$，$\tan21.8^{\circ}\approx0.40$）.
（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（精确到$0.1\ \text{m}$）？
（2）当梯子底端距离墙面$2.2\ \text{m}$时，此人是否能够安全使用这架梯子？

答案： （1）由题意，当α = 75°时，这架梯子可以安全攀上最高的墙.
∵ 在Rt△ABC中，$\sin\alpha=\frac{AC}{AB}$，
∴ AC = AB·$\sin\alpha\approx5.5\times0.97\approx5.3$（m）.
∴ 使用这架梯子最高可以安全攀上约5.3 m的墙 （2）
∵ 在Rt△ABC中，$\cos\alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{2.2}{5.5}=0.4$，
∴ α≈66.4°.
∵ 60°＜66.4°＜75°，
∴ 此人能够安全使用这架梯子