《2025年通城学典课时作业本九年级数学下册苏科版江苏专版》

8. 如图，在△ABC中，AC = 8，∠ABC = 60°，∠C = 45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为 （ ）
A. $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ B. 2$\sqrt{2}$ C. $\frac{8\sqrt{2}}{3}$ D. 3$\sqrt{2}$
　　　　　　　　

答案： C

9. 如图，在四边形ABCD中，∠A = ∠ABC = 90°，DB平分∠ADC. 若AD = 1，CD = 3，则sin∠ABD的值为_______.
　　　　

答案： $\frac{\sqrt{6}}{6}$

10. （2024·南充）如图，在矩形ABCD中，E为边AD上一点，∠ABE = 30°，将△ABE沿BE折叠得△FBE，连接CF、DF，若CF平分∠BCD，AB = 2，则DF的长为_______.
　　　　　

答案： $\sqrt{2}$

11. （2024·长沙）如图，在菱形ABCD中，AB = 6，∠B = 30°，E是边BC上的动点，连接AE、DE，过点A作AF⊥DE于点F. 设DE = x，AF = y，求y与x之间的函数表达式（不考虑自变量x的取值范围）.
　　　

答案： 过点$D$作$DH\perp BC$，交$BC$的延长线于点$H$.$\because$四边形$ABCD$是菱形，$AB = 6$，$\therefore AB// CD$，$AD// BC$，$AB = CD = AD = 6$.$\therefore\angle DCH=\angle B = 30^{\circ}$，$\angle ADF=\angle DEH$.$\therefore$在Rt△DHC中，$DH = CD\cdot\sin30^{\circ}=6\times\frac{1}{2}=3$.$\because AF\perp DE$，$DH\perp BC$，$\therefore\angle AFD=\angle DHE = 90^{\circ}$.$\therefore\triangle ADF\sim\triangle DEH$.$\therefore\frac{AD}{DE}=\frac{AF}{DH}$.$\therefore\frac{6}{x}=\frac{y}{3}$.$\therefore y=\frac{18}{x}$

12. （2024·广元）如图，在△ABC中，AC = BC，∠ACB = 90°，⊙O经过A、C两点，交AB于点D，CO的延长线交AB于点F，DE//CF交BC于点E，连接CD.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若AC = 4，tan∠CFD = 2，求⊙O的半径.
　　　　

答案：
（1）如图，连接$OD$.$\because AC = BC$，$\therefore\angle A=\angle B$.$\because\angle ACB = 90^{\circ}$，$\therefore\angle A = 45^{\circ}$.$\because\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{CD}$，$\therefore\angle COD = 2\angle A = 90^{\circ}$.$\because DE// CF$，$\therefore\angle COD+\angle EDO = 180^{\circ}$.$\therefore\angle EDO = 90^{\circ}$，即$OD\perp DE$.$\because OD$是$\odot O$的半径，$\therefore DE$为$\odot O$的切线 （2）如图，过点$C$作$CH\perp AB$于点$H$.$\because$在Rt△AHC中，$\sin A=\frac{CH}{AC}$，$AC = 4$，$\therefore CH = 4\times\sin45^{\circ}=2\sqrt{2}$.$\because$在Rt△CHF中，$\tan\angle CFD=\frac{CH}{FH}=2$，$\therefore FH=\sqrt{2}$.$\therefore$在Rt△CHF中，由勾股定理，得$CF=\sqrt{CH^{2}+FH^{2}}=\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{10}$.$\because$在Rt△ODF中，$\tan\angle CFD=\frac{OD}{OF}=\frac{OD}{CF - OC}=\frac{OD}{\sqrt{10}-OD}=2$，$\therefore OD=\frac{2\sqrt{10}}{3}$.$\therefore\odot O$的半径为$\frac{2\sqrt{10}}{3}$