《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

7. 用一元二次方程描述下列问题中的数量关系,并化为一般形式.
(1)两个连续整数的平方和是313,设较小的数为x.
(2)有一个面积为$54 cm^2$的矩形纸片,将它的一边剪短5 cm,另一边剪短2 cm,恰好变成一个正方形纸片.设正方形纸片的边长为x cm.
(3)小明拿着竹竿进屋,横拿竖拿都进不去,横着比门框宽4尺,竖着比门框高2尺.妈妈让他沿着门的两个对角斜着拿杆,小明一试,不多不少刚好进去了.设竹竿长为x尺.
(4)我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱,遣人去买几株椽.每株脚钱三文足,无钱准与一株椽.”其大意为：现请人代买一批椽,这批椽的价钱为6210文.如果每株椽的运费是3文,那么少拿一株椽后,剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱.设这批椽有x株.

答案： 解：设这两个连续整数分别为x和x+1
$ x^2+(x+1)^2=313$
化为一般形式为$2x^2+2x-312=0$
解：设这个正方形纸片的边长为$x\ \mathrm {cm}$
(x+5)(x+2)=54
化为一般形式为$x^2+7x-44=0$
解：设竹竿长x尺
$ (x-4)^2+(x-2)^2=x^2$
化为一般形式为$x^2-12x+20=0$
3x(x－1)=6210
化为一般形式为3x²－3x－6210=0

8. 已知a是方程x^2-2024x+1= 0的一个根,试求a^2-2023a+$\frac{2024}{a^2+1}$的值.

答案： 解：由题意可得：a²-2024a+1=0
所以a²+1=2024a，a²=2024a-1
所以原式$=2024a-1-2023a+\frac {2024}{2024a}$
$ =a-1+\frac {1}{a}$
$ =\frac {a²-a+1}{a}$
$ =\frac {2024a-a}{a}$
=2023