《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

13. 如图,在矩形$AOBC$中,点$A$、$B的坐标分别为(0,6)$、$(12,0)$,点$E在边OB$上,$\angle AEO= 30^{\circ}$,点$P从点Q(-4,0)$出发,沿$x$轴以每秒1个单位长度的速度向右运动,运动时间为$t\ s$.
(1)求点$E$的坐标;
(2)若$\odot D与\triangle AOE$的三边相切,切点分别为$N$、$M$、$F$,求$\odot D$的半径;
(3)以点$P$为圆心,$PA为半径的\odot P随点P$的运动而变化,当$\odot P与四边形AEBC$的边(或边所在的直线)相切时,求$t$的值.

答案：


解：( 1 )
∵A( 0，6 ) ，B( 12，0 ) ，
∴OA=6，OB=12，
∵∠AEO=30°，
∴AE=12，
∴$OE=6\sqrt{3}，$
∴点E的坐标$( 6\sqrt{3}，$0 )
(2)如图1，连接DA、DO、DB，连接DM、DN、DF，
∵$\odot D$与三角形AOE的三边相切，切点分别为N、M、F
，
∴DM⊥OB、DN⊥AB、DF⊥OA，
则S_{△AOE}=S_{△DAO}+S_{△DOE}+S_{△DAB}
∴$\frac {1}{2}OE\cdot OA=\frac {1}{2}OA·DF+\frac {1}{2}OE·DM+\frac {1}{2}AE·DN$
∵OA=6、$OE=6\sqrt{3}、$AE=12、DM=DN=DF=r，
∴$\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×6=\frac {1}{2}×6×r+\frac {1}{2}×6\sqrt{3}×r+\frac {1}{2}×12×r$
解得：$r=\frac {6\sqrt{3}×6}{6+6\sqrt{3}+12}=3\sqrt{3}-3$
( 3 ) ①如图2，当$\odot P$与AE相切时，
∵PA是$\odot P$的半径，
∴点A为切点，
∵OA=6，∠AEO=30°，
∴∠PAO=30°，$OP=2\sqrt{3}，$
∴$QP=4-2\sqrt{3}，$
∴$t=( 4-2\sqrt{3} ) $秒.
②如图3，当点P与O重合时，$\odot P$与AC相切，
∴t=4秒.

③如图4，当PA=PB时，$\odot P$与BC相切，设OP=x，
则PB=PA=12-x，
在Rt△OAP 中，$x^2＋6^2=( 12-x ) ^2，$解得：$x=\frac {9}{2}，$
∴$t=4+\frac {9}{2}=\frac {17}{2}($秒)，
∴$t=4-2\sqrt{3}$或4或$\frac {17}{2}$秒.