《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

8. 用配方法求：(1)代数式$2x^{2}-6x+1$的最小值；(2)代数式$-3x^{2}+5x-1$的最大值.

答案： 解：$(1)2x^2-6x+1=2(x^2-3x)+1=2(x^2-3x+\frac 94)-\frac 72=2(x-\frac 32)^2-\frac 72$
∵$(x-\frac 32)^2≥0，$
∴$2(x-\frac 32)^2-\frac 72≥-\frac 72，$即$2x^2-6x+1$的最小值是$-\frac 72$
$ (2)-3x^2+5x-1=-3(x^2-\frac 53x)-1=-3(x-\frac 56)^2+\frac {13}{12}$
∵$(x-\frac 56)^2≥0，$
∴$-3(x-\frac 56)^2+\frac {13}{12}≤\frac {13}{12}$
即$-3x^2+5x-1$的最大值为$\frac {13}{12}$

9. 已知m是关于x的一元二次方程$x^{2}+2x+n-3= 0$的一个根,求$m-n$的最小值.

答案： 解：由题意可得：m²+2m+n-3=0
所以n=-m²-2m+3
所以$m-n=m-(-m²-2m+3)=m²+3m-3=(m+\frac {3}{2})²-\frac {21}{4}$
所以m-n的最小值为$-\frac {21}{4}.$

例 用公式法解下列方程：
(1)$2x^{2}+3x-2= 0$； (2)$x^{2}-2\sqrt{2}x+2= 0$；
(3)$0.3y^{2}-1= 0.1y$； (4)$3x^{2}+5(2x+1)= 0$；
(5)$15x^{2}+19x-10= 0$； (6)$x(6-x)= 3$.

答案： 解：a=2，b=3，c=-2
$ b^2-4ac=25\gt 0$
$ x=\frac {-3±\sqrt {25}}4=\frac {-3±5}4$
$ x_1=\frac 12，$$x_2=-2$
解：a=1，$b=-2\sqrt {2}，$c=2
$ b^2-4ac=0$
$ x=\frac {-b}{2a}=\sqrt {2}$
$ x_1=x_2=\sqrt {2}$
解：$3y^2-y-10=0$
a=3，b=-1，c=-10
$ b^2-4ac=121$
$ y=\frac {1±\sqrt {121}}{2×3}=\frac {1±11}6$
$ y_1=2，$$y_2=-\frac 53$
解：$3x^2+10x+5=0$
a=3，b=10，c=5
$ b^2-4ac=40$
$ x=\frac {-10±\sqrt {40}}{2×3}=\frac {-5±\sqrt {10}}3$
$ x_1=\frac {-5+\sqrt {10}}3，$$x_2=\frac {-5-\sqrt {10}}3$
解：a=15，b=19，c=-10
$ b^2-4ac=961$
$ x=\frac {-19±\sqrt {961}}{2×15}=-\frac {-19±31}{30}$
$ x_1=\frac 25，$$x_2=-\frac 53$
解：$-x^2+6x-3=0$
a=-1，b=6，c=-3
$ b^2-4ac=24$
$ x=\frac {-6±\sqrt {24}}{-2}=3±\sqrt {6}$
$ x_1=3+\sqrt {6}，$$x_2=3-\sqrt {6}$

1. 一元二次方程$x^{2}-px+q= 0(4q ＜ p^{2})$的两个根是 ( )

A.$x= \frac{p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
B.$x= \frac{-p\pm \sqrt{p^{2}-4q}}{2}$
C.$x= \frac{-p\pm \sqrt{p^{2}+4q}}{2}$
D.$x= \frac{q\pm \sqrt{p^{2}+4q}}{2}$

答案： 解：a=2，b=3，c=-2
$ b^2-4ac=25\gt 0$
$ x=\frac {-3±\sqrt {25}}4=\frac {-3±5}4$
$ x_1=\frac 12，$$x_2=-2$
解：a=1，$b=-2\sqrt {2}，$c=2
$ b^2-4ac=0$
$ x=\frac {-b}{2a}=\sqrt {2}$
$ x_1=x_2=\sqrt {2}$
解：$3y^2-y-10=0$
a=3，b=-1，c=-10
$ b^2-4ac=121$
$ y=\frac {1±\sqrt {121}}{2×3}=\frac {1±11}6$
$ y_1=2，$$y_2=-\frac 53$
解：$3x^2+10x+5=0$
a=3，b=10，c=5
$ b^2-4ac=40$
$ x=\frac {-10±\sqrt {40}}{2×3}=\frac {-5±\sqrt {10}}3$
$ x_1=\frac {-5+\sqrt {10}}3，$$x_2=\frac {-5-\sqrt {10}}3$
解：a=15，b=19，c=-10
$ b^2-4ac=961$
$ x=\frac {-19±\sqrt {961}}{2×15}=-\frac {-19±31}{30}$
$ x_1=\frac 25，$$x_2=-\frac 53$
解：$-x^2+6x-3=0$
a=-1，b=6，c=-3
$ b^2-4ac=24$
$ x=\frac {-6±\sqrt {24}}{-2}=3±\sqrt {6}$
$ x_1=3+\sqrt {6}，$$x_2=3-\sqrt {6}$
A