《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

例1 不解方程,求下列方程两根的和与两根的积：
(1)$x^{2}-3x-1= 0$； (2)$2x^{2}+3x= 5$； (3)$\frac{1}{3}x^{2}-2x= 0$.

答案： 解：$(1)x_1+x_2=3，$$x_1x_2=-1$
$ (2)2x^2+3x-5=0$
$ x_1+x_2=-\frac 32，$$x_1x_2=-\frac 52$
$ (3)x_1+x_2=6，$$x_1x_2=0$

例2 方程$x^{2}+mx-1= 0的一个根是\sqrt{2}$,你会利用一元二次方程的根与系数的关系求出方程的另一个根和m的值吗？

答案： 解：设另一根为$x_1，$则$\sqrt {2}+x_1=-m，$$\sqrt {2}x_1=-1$
得$x_1=-\frac {\sqrt {2}}2，$$m=-\frac {\sqrt {2}}2$

例3 已知关于x的方程$x^{2}+2(m-2)x+m^{2}+4= 0$有两个实数根,且两根的平方和比两根的积大21.求m的值.

答案： 解：
∵方程有两个实数根
∴$b^2-4ac=4(m-2)^2-4(\ \mathrm {m^2}+4)=-16m≥0$
∴m≤0
设方程两根分别为$x_1，$$x_2$
则$x_1+x_2=-2(m-2)，$$x_1x_2=\ \mathrm {m^2}+4$
$ x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m-2)^2-2(\ \mathrm {m^2}+4)=2\ \mathrm {m^2}-16m+8$
∴$2\ \mathrm {m^2}-16m+8-(\ \mathrm {m^2}+4)=21$
即$\ \mathrm {m^2}-16m-17=0$
解得$m_1=17，$$m_2=-1$
∵m≤0，
∴m=-1