《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

8. 如图,圆锥底面的半径为10 cm,高为$10\sqrt{15}$ cm.
(1)求圆锥的全面积；
(2)一只蚂蚁从底面上一点A出发绕圆锥爬行一周回到SA上的点M处,已知SM= 3AM,求蚂蚁爬行的最短路程.

答案：
解：
(1)由题意，可得圆锥的母线$SA=\sqrt{AO^2+SO^2}=40(\ \mathrm {cm})$
圆锥的侧面展开扇形的弧长$l=2\pi \cdot OA=20\pi\ \mathrm {cm}$
$\therefore S_{侧}=\dfrac{1}{2}L\cdot SA=400\pi\ \mathrm {cm^2}$
$S_{圆}=\pi AO^2=100\pi\ \mathrm {cm^2}，$
$\therefore S_{全}=S_{圆}+S_{底}=(400+100)\pi =500\pi (\ \mathrm {cm^2})$
解：
(2)沿母线SA将圆锥的侧面展
开，如图，

则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短
距离
由
(1)知，
$SA=40\ \mathrm {cm}，$
弧$AA'=20\pi\ \mathrm {cm}$
$\because \dfrac{n\pi \times 40}{180}=20\pi\ \mathrm {cm}，$
$\therefore \angle S=n=\dfrac{180\times 20\pi }{40\pi }=90^{\circ}，$
$\because SA'=SA=40\ \mathrm {cm}，$SM=3A'M
$\therefore SM=30\ \mathrm {cm}，$
$\therefore $在$Rt\triangle ASM$中，
由勾股定理得$AM=50(\ \mathrm {cm})$
所以，蚂蚁所走的最短距离是$50\ \mathrm {cm}. $

9. 工人师傅要把一块矩形铁皮加工成一个底面半径为20 cm、高为$40\sqrt{2}$ cm的圆锥形漏斗,要求只有一条接缝(接缝尺寸忽略不计).请你设计两种不同的裁剪方案画图并计算,比较哪种方案用料最少.此时所需矩形铁皮的长、宽分别为多少?

答案：
解：圆锥的母线长：
${\sqrt {{20}^{2}+{(40{\sqrt {2}})}^{2}}}=60(cm)$
设这个圆锥展开后的圆心角为n°
，则${\frac {nπ×60} {180}}=2π×20$
解得，n=120
方案一如图1，

OM=OH=60cm，∠MON=120°
在Rt△OBM中，
∵ OM=60cm，∠MOB=30°
∴BM=30cm,
$OB={\sqrt {{OM}^{2}-{BM}^{2}}}=30{\sqrt {3}}cm$
∴$ BC=2OB=60\sqrt {3}cm$
∴ 方案一所需矩形铁皮的面积：
$60×60{\sqrt {3}}=3600{\sqrt {3}}(cm^2)$
方案二如图2，

OM=EF=60cm，∠MON=120°
在Rt△MOF中，
∵ OM=60cm，∠MOF=60°
∴$ OF=\frac 1 2OM=30cm$
∴ FG=OF+OG=90cm
∴ 方案二所需矩形铁皮的面积：
$90×60=5400(cm^2)$
∵$ 5400＜3600\sqrt {3}$
∴ 方案二用料最少，此时所需矩形铁
皮的长为90cm，宽为60cm．