《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

例2 为美化校园,学校准备在如图2.5.5所示的三角形空地上修建一个圆形花坛,且要使花坛的面积最大.
(1)请在图中画出这个圆形花坛(用直尺和圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹).
(2)若AB= 4m,AC= 5m,BC= 6m,求(1)中所画圆形花坛的半径.

答案：
解：
(1)如图所示
$\text{(2)作}AM⊥BC\text{，垂足为点}M.$
设$BM=x\,\,\text{m}，$则$CM=\text{(}6-x\text{)\ m}$
在Rt△ABM中，由勾股定理可知，
$AM^2＋BM^2=AB^2$
∵$AB=4\ \text{m}，$$BM=x\ \text{m}$
∴$AM^2=AB^2-BM^2=16-x^2$
在Rt△ACM中，由勾股定理可知，
$AM^2+CM^2=AC^2$
∵$CM=\left( 6-x \right) \ \text{m,\ }AC=5\ \text{m}$
∴$16-x^2+\left( 6-x \right) ^2=5^2$解得$x=\frac{9}{4}$
∴$BM=\frac{9}{4}\ \text{m,\ }AM=\frac{5\sqrt{7}}{4}\ \text{m}$
∴$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×6×\frac{5\sqrt{7}}{4}=\frac{15\sqrt{7}}{4}\ \text\ \mathrm {{m}^2}$
设所画圆形花坛的半径为$\ r\ \text{m}，$
则$\frac{1}{2}×\text{(}4+5+6\text{)}r=\frac{15\sqrt{7}}{4}$解得，$r=\frac{\sqrt{7}}{2}$
∴所画圆形花坛的半径为$\frac{\sqrt{7}}{2}\ \text{m}.$

1. 下列命题中,正确的是 ( )

A.三角形的内心到三角形三个顶点的距离相等
B.三角形的内心不一定在三角形的内部
C.等边三角形的内心与外心重合
D.一个圆一定有唯一一个外切三角形

答案： C

2. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AC= 3,AB= 5,它的内切圆与外接圆的半径分别为 ( )

A.1,2.5
B.2,5
C.1.5,2.5
D.2,2.5

答案： A

3. 若等边三角形的边长为2,则它的内切圆面积为______.

答案： $\frac{1}{3}π$

4. 已知△ABC的面积为$8cm^2,$周长为24cm,则△ABC内切圆的半径为______cm.

答案： $\frac{2}{3}$

5. 已知△ABC的内心为O,∠BOC= 110°,则∠BAC= ______°.

答案： 40