《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

6. 如图,正方形ABCD的边长为a,以BC为直径向正方形内画半圆,EF切半圆于点G,分别交AB、CD于点E、F.
(1)求四边形AEFD的周长；
(2)已知∠BEF= 60°,求四边形EBCF的周长.

答案：
解：( 1 )
∵四边形ABCD为正方形
∴∠ABC=∠DCB=90°
∴EB，FC为半圆的切线
∵EF与半圆相切于点G
∴EB=EG，FC=FG.
∴C_{四边形AEFD}=AE+EG+FG+FD+AD
=( AE+EB ) +( FC+FD ) +AD
=AB+CD+AD
=3a，
即四边形AEFD的周长为3a
解：( 2 ) 过点F作FH⊥AB，垂足为点H

在Rt△FHE中，
∵∠BEF=60°
∴∠HFE=90°-60°=30°
∴EF=2EH，$FH=\sqrt{3}EH$
∵FH=BC=a
∴$EH=\frac {\sqrt{3}}{3}a，$
$EF=\frac {2\sqrt{3}}{3}a$
∴C_{四边形EBCF}
=EB+CF+EF+BC
=EG+FG+EF+BC
=2EF+BC
$=(\frac {4\sqrt{3}}{3}+1)a，$
即边形EBCF的周长为$(\frac {4\sqrt{3}}{3}+1)a $

7. 如图,AC⊥BC,垂足为C,BC= 4,AC= 3,⊙O与直线AC、BC、AB分别相切于点D、E、F.求⊙O的半径.

答案：
解：
∵ AC⊥BC，
∴∠ACB = 90°，
∵ BC=4，AC= 3，
∴AB= 5
连接OD、OE；

∴AC、BE是O的切线，
∴∠ODC=∠OEC=∠DCE= 90°；
∴四边形ODCE是矩形；
∵OD = OE，
∴矩形ODCE是正方形；
即OE= OD= CD；
设CD= CE=x，
则AD= AF=3- x；
连接OB， OF，
由勾股定理得：\
$BF^2 = OB^2 - OF^2，$\
$BE^2 =OB^2 - OE^2$
∵ OB= OB， OF= OE，
∴ BF= BE，
则BA+ AF= BC +CE，
\ 5+3-x=4+x，
即x = 2；
故⊙O的半径为2.

8. 如图,⊙O与四边形ABCD各边都相切,切点分别为E、F、G、H,若四边形ABCD的周长为36 cm,则AB+CD= ______cm.

答案： 18

9. 如图①,将一个量角器与一张等腰三角形纸片ABC放置成轴对称图形.∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂足为D,半圆(量角器)的圆心与点D重合,测得CE= 5 cm;将半圆(量角器)沿DC方向平移2 cm,恰与△ABC的边AC、BC相切,如图②,则边AB的长为______cm.

答案： $16+6 \sqrt{2},$