《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

9. 关于x的方程$(x-1)(x+2)= p^{2}$(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是( )

A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根,一个负根
D.无实数根

答案： C

10. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为关于x的方程$x^{2}-mx+3m+6= 0$的两个根.
(1)求m的值；(2)求这个直角三角形的面积和斜边上的高.

答案： 解：
(1)由题意得，
a+b=m，ab=3m+6
由勾股定理，$a^2+b^2=10^2，$
∴$(a+b)^2-2ab=100$
即$\ \mathrm {m^2}-2(3m+6)=100$
解得$m_1=14，$$m_2=-8($舍去)
∴m=14
(2)这个直角三角形的面积为$\frac 12ab=\frac 12×(3×14+6)=24$
斜边上的高为$\frac {24}{\frac 12×10}=4.8$

例1 将一根长20 cm的铁丝剪成两段,以每一段铁丝的长度为周长制成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$17 cm^2,$这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于$12 cm^2$吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.

答案： 解：设其中一个正方形边长为$x\ \mathrm {cm}，$则另一个正方形的边长为$(5-x)\ \mathrm {cm}.$
(1)依题意得，$x^2+(5-x)^2=17$
解得，$x_1=1，$$x_2=4$
答：这两段铁丝的长度为$4\ \mathrm {cm}$和$16\ \mathrm {cm}.$
解：
(2)不能，理由如下：
假设两个正方形的面积之和等于$12\ \mathrm {cm^2}，$
则$x^2+(5-x)^2=12$
整理，得$2x^2-10x+13=0$
$(-10)^2-4×2 ×13= -4\lt 0，$
原方程无实数根
∴两个正方形的面积之和不可能等于$12\ \mathrm {cm^2}. $