《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

6. 如图,AB为$\odot O$的直径,过圆上一点D作$\odot O$的切线,交BA的延长线于点C,过点O作$OE// AD$,交CD于点E,连接BE.直线BE与$\odot O$相切吗？请说明理由.

答案：
解：直线BE与⊙O相切，理由如下：
连接OD，BD
∵OE//AD，CD与⊙O相切于点D
∴OE⊥BD
∴OE平分∠BED
∵OB=OD，OD⊥CE
∴OB⊥BE
∴BE与⊙O相切

7. 如图,正方形ABCD边长为4,O为对角线AC上一点,以点O为圆心,OA长为半径的$\odot O$与BC相切于点M,与AD、AB分别相交于点E、F.
(1)求证:CD与$\odot O$相切；
(2)求$\odot O$的半径.

答案：
解：
(1)证明：过点O作OG⊥CD交CD于点G
连接OM
则OM⊥BC，四边形OMCG为矩形
∵AC是正方形ABCD的对角线
∴∠DCA=45°，
∴△CGO是等腰直角三角形
∴OG=CG，
∴矩形OMCG是正方形
∴OM=OG
∴CD与⊙O相切

解：
(2)
∵正方形的边长为4

∴$AC=4\sqrt{2}$
设AO=x，则OM=x
则$OC=\sqrt{2}x$
则$AC=(1+\sqrt{2})x$
则$(1+\sqrt{2})x=4\sqrt{2}$
$x=\frac {4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1}$
$x=\frac {4\sqrt{2}(\sqrt{2}－1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}－1)}$
$x=8－4\sqrt{2}$
∴⊙O的半径为$8－4\sqrt{2}$

8. 在$\triangle ABC$中,$\angle C= 90^\circ$,以边AB上的点O为圆心,OA为半径作圆,与BC相切于点D,分别交AB、AC于点E、F.
(1)如图①,连接AD,若$\angle CAD= 25^\circ$,求$\angle B$的度数；
(2)如图②,若F为$\overset{\frown}{AD}$的中点,$\odot O$的半径为1,求AB的长.

答案：
解：
(1)连接OD
∵BC与圆O相切
∴∠ODC=90°
∵∠C=90°
∴OD//AC
∴∠ADO=∠CAD
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ADO
∴∠OAD=∠CAD
∵∠CAD=25°
∴∠CAB=∠CAD+AOD=50°
∴∠B=90°-∠CAB=40°.

(2)连接OD，OF

因为F是$\widehat{AD}$的中点
所以∠AOF=∠FOD
因为OD//AC
所以∠AFO=∠FOD
所以∠AFO=∠AOF
因为OA=OF
所以∠AFO=∠OAF
所以△AFO是等边三角形
所以∠CAB=60°
所以∠B=30°
因为OD=1
所以OB=2OD=2
所以AB=OA+OB=3