《2024年课课练九年级数学上册苏科版》

6. 如图,一个密封的正方体盒子的棱长为10 cm,在盒子内部顶点$C_{1}$处有一只昆虫甲,顶点A处有一只昆虫乙.假设昆虫甲从顶点$C_{1}$以1 cm/s的速度在盒子的内部沿$C_{1}C$向下爬行,同时昆虫乙从顶点A以2 cm/s的速度在内盒壁上爬行,那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲?

答案：

解：分两种情况：

①昆虫乙经过棱$BB_1$或$DD_1$爬向昆虫
乙，如图①、③，
设昆虫乙需要$ x\ \mathrm {s}$才能捕捉到昆虫甲.
依题意得，
$( 10＋10 ) ^2+( 10-x ) ^2=( 2x ) ^2$
解得，$x_1=10，$
$x_2=-\frac {50}{3}( $不合题意，舍去 )
∴x=10
②昆虫乙经过棱BCa或DC爬向昆虫
乙，如图②、④，
设昆虫乙需要$ y\ \mathrm {s}$才能捕捉到昆虫甲.
依题意得，
$10^2+( 20-y ) ^2=( 2y ) ^2$
解得，$y_1=\frac {-20+10\sqrt{19}}{3}，$
$y_2=\frac {-20-10\sqrt{19}}{3}($不合题意，舍去)
∴$y=\frac {-20+10\sqrt{19}}{3}$
∵$\frac {-20+10\sqrt{19}}{3}\lt 10$
∴昆虫乙至少需要$\frac {-20+10\sqrt{19}}{3}$秒才能
捕捉到昆虫甲.

1. 解下列方程：
(1)$196x^{2}-1= 0$；
(2)$2x^{2}+3x= 3$；
(3)$x^{2}-2x= 24$；
(4)$x(2x-5)= 4x-10$；
(5)$-\frac{2}{3}y^{2}+\frac{1}{3}y+2= 0$；
(6)$(2x-3)^{2}+3(3-2x)-4= 0$。

答案： 解：$196x^2=1$
$              x^2=\frac 1{196}$
$               x=±\frac 1{14}$
$ x_1=\frac 1{14}，$$x_2=-\frac 1{14}$
解：$2x^2+3x-3=0$
a=2，b=3，c=-3
$ b^2-4ac=9+4×2×3=33$
$ x=\frac {-3±\sqrt {33}}4$
$ x_1=\frac {-3+\sqrt {33}}4，$$x_2=\frac {-3-\sqrt {33}}4$
解：$x^2-2x-24=0$
(x-6)(x+4)=0
x-6=0或x+4=0
$ x_1=6，$$x_2=-4$
解：(2x-5)(x-2)=0
2x-5=0或x-2=0
$ x_1=\frac 52，$$x_2=2$
解：$2y^2-y-6=0$
(2y+3)(y-2)=0
$ y_1=-\frac 32，$$y_2=2$
解：(2x-3-4)(2x-3+1)=0
(2x-7)(2x-2)=0
2x-7=0或2x-2=0
$ x_1=\frac 72，$$x_2=1$