《2025年同步练习册人民教育出版社七年级数学上册人教版山东专版》

例 4 已知多项式 $ -8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y $ 的次数是 $ 6 $,单项式 $ \frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n} $ 的次数与这个多项式的次数相同. 请你判断当 $ m = 3 $,$ n = 1 $ 时是否满足要求.
解 由题意,得 $ 3 + m = 6 $.
当 $ m = 3 $ 时,$ 3 + 3 = 6 $,满足要求.
由单项式 $ \frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n} $ 的次数也为 $ 6 $,得 $ 2 + 5 - n = 6 $,当 $ n = 1 $ 时,$ 2 + 5 - 1 = 6 $,满足要求.

答案： 解：
多项式$-8x^{3}y^{m} + xy^{2} - 3x^{3} + 6y$的次数为$6$，
由多项式次数的定义，最高次项的次数为多项式的次数，即：
$3 + m = 6$
当$m = 3$时，
$3 + 3 = 6$
满足多项式次数为$6$的要求。
单项式$\frac{3}{2}\pi x^{2}y^{5 - n}$的次数也为$6$，
由单项式次数的定义，即所有字母的指数之和，有：
$2 + 5 - n = 6$
当$n = 1$时，
$2 + 5 - 1 = 6$
满足单项式次数为$6$的要求。
所以当$m = 3$，$n = 1$时，满足题目要求。

例 5 如图,在一条不完整的数轴上,从左到右的点 $ A $,$ B $,$ C $ 把数轴分成①②③④四部分,点 $ A $,$ B $,$ C $ 表示的数分别是 $ a $,$ b $,$ c $,已知 $ bc ＜ 0 $.

(1)请说明原点在第______部分；
(2)当线段 $ AC $ 的长是多项式 $ -2x^{2} + 5x + 1 $ 的一次项系数、线段 $ BC $ 的长是单项式 $ -\frac{1}{2}x^{2}y $ 的次数、$ b $ 是最大的负整数时,求 $ a $.
(1)解析 因为 $ bc ＜ 0 $,所以 $ b $ 和 $ c $ 异号,所以原点在第③部分.
答案 ③
(2)解 因为多项式 $ -2x^{2} + 5x + 1 $ 的一次项系数是 $ 5 $,所以 $ AC $ 的长是 $ 5 $.
因为单项式 $ -\frac{1}{2}x^{2}y $ 的次数是 $ 3 $,所以 $ BC $ 的长是 $ 3 $.
因为 $ b $ 是最大的负整数,所以 $ b = -1 $.
所以 $ AB $ 的长是 $ 5 - 3 = 2 $,所以 $ a = b - 2 = -1 - 2 = -3 $.

(1)请说明原点在第③部分；
(2)当线段 $ AC $ 的长是多项式 $ -2x^{2} + 5x + 1 $ 的一次项系数、线段 $ BC $ 的长是单项式 $ -\frac{1}{2}x^{2}y $ 的次数、$ b $ 是最大的负整数时,求 $ a $.
$-3$

答案：
(1) ③
(2) 解：
多项式 $-2x^{2} + 5x + 1$ 的一次项系数是 $5$，所以 $AC = 5$。
单项式 $-\frac{1}{2}x^{2}y$ 的次数是 $3$，所以 $BC = 3$。
$b$ 是最大的负整数，所以 $b = -1$。
$AB = AC - BC = 5 - 3 = 2$。
$a = b - AB = -1 - 2 = -3$。
所以 $a = -3$。