《2025年同步练习册人民教育出版社七年级数学上册人教版山东专版》

5. 小军和小红分别以一个直角梯形的上底和下底所在直线为轴,将梯形旋转一周,得到两个立体图形如图甲、乙所示. 小军认为旋转的平面图形是完全一样的,所以旋转后得到的两个立体图形的体积相等. 小红认为两个立体图形的体积不相等.

(1)你同意小红的说法.
(2)甲、乙两个立体图形的体积比是多少？
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甲的体积：$\pi×3^{2}×6-\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=54\pi-9\pi=45\pi$（$cm^3$），乙的体积：$\pi×3^{2}×3+\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=27\pi+9\pi=36\pi$（$cm^3$），所以$45\pi:36\pi=5:4$. 综上，甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$.

答案： 解（1）小红
（2）甲的体积：$\pi×3^{2}×6-\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=54\pi-9\pi=45\pi$（$cm^3$），乙的体积：$\pi×3^{2}×3+\frac{1}{3}\pi×3^{2}×(6-3)=27\pi+9\pi=36\pi$（$cm^3$），所以$45\pi:36\pi=5:4$. 综上，甲、乙两个立体图形的体积比是$5:4$.

6. 已知一张长方形纸片如图所示,其中AB的长为4 cm,BC的长为6 cm. 将此长方形纸片以它的一条边所在直线为轴旋转一周.
(1)旋转一周后得到的几何体是圆柱. 这个现象可以说明面动成体.
(2)求得到的几何体的体积. (结果保留π)

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解：当将此长方形纸片以AB（或CD）所在直线为轴旋转一周时，得到的立体图形的体积为$6^{2}×\pi×4=144\pi$（$cm^3$）；当将此长方形纸片以BC（或AD）所在的直线为轴旋转一周时，得到的立体图形的体积为$4^{2}×\pi×6=96\pi$（$cm^3$）. 综上所述，得到的几何体的体积为$144\pi\ cm^3$或$96\pi\ cm^3$.

答案： 解（1）圆柱 面动成体
（2）当将此长方形纸片以AB（或CD）所在直线为轴旋转一周时，得到的立体图形的体积为$6^{2}×\pi×4=144\pi$（$cm^3$）；当将此长方形纸片以BC（或AD）所在的直线为轴旋转一周时，得到的立体图形的体积为$4^{2}×\pi×6=96\pi$（$cm^3$）. 综上所述，得到的几何体的体积为$144\pi\ cm^3$或$96\pi\ cm^3$.