《2025年同步练习册人民教育出版社七年级数学上册人教版山东专版》

代数式$(2x^2 + ax - \frac{1}{3}y + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{2}x - 2y + 1 - bx^2)的值与字母x$的取值无关,求$a$,$b$的值。
解 原式$= 2x^2 + ax - \frac{1}{3}y + \frac{1}{5} - \frac{1}{2}x + 2y - 1 + bx^2 = (2 + b)x^2 + (a - \frac{1}{2})x + \frac{5}{3}y - \frac{4}{5}$。因为多项式的值与$x$的取值无关,所以$2 + b = 0$,$a - \frac{1}{2} = 0$,即$b = -2$,$a = \frac{1}{2}$。

答案： 解：原式$=2x^2 + ax - \frac{1}{3}y + \frac{1}{5} - \frac{1}{2}x + 2y - 1 + bx^2$
$=(2 + b)x^2 + (a - \frac{1}{2})x + \frac{5}{3}y - \frac{4}{5}$。
因为代数式的值与字母$x$的取值无关，
所以$2 + b = 0$，$a - \frac{1}{2} = 0$。
解得$b = -2$，$a = \frac{1}{2}$。
故$a$的值为$\frac{1}{2}$，$b$的值为$-2$。

3. 如果代数式$-3x^2 + mx + nx^2 - x + 10的值与x$的取值无关,求$m$,$n$的值。

答案： 解 因为-3x²+mx+nx²-x+10=(n-3)x²+(m-1)x+10，且此代数式的值与x的取值无关，所以n-3=0，且m-1=0，即m=1，n=3.

4. 有一道题目“当$a = 2$,$b = -2$时,求多项式$3a^3b^3 - \frac{1}{2}a^2b + b - (4a^3b^3 - \frac{1}{4}a^2b - b^2) + (a^3b^3 + \frac{1}{4}a^2b) - 2b^2 + 3$的值”,甲同学做题时把$a = 2错看成a = -2$,乙同学没有看错,但他们得出的结果恰好一样。请说明原因。

答案： 解 3a³b³-$\frac{1}{2}$a²b+b-(4a³b³-$\frac{1}{4}$a²b-b²)+(a³b³+$\frac{1}{4}$a²b)-2b²+3=3a³b³-$\frac{1}{2}$a²b+b-4a³b³+$\frac{1}{4}$a²b+b²+a³b³+$\frac{1}{4}$a²b-2b²+3=-b²+b+3，这个多项式的值与a的取值无关，所以虽然甲同学看错了a的值，但是并不影响其计算结果.

王伯伯卖花生,想买苹果。恰好隔壁水果店的店主李叔叔想买花生。于是二人商定,$1\ kg花生换0.8\ kg$苹果。当王伯伯称完$1$纸箱花生(含纸箱),要倒出花生单独称空纸箱时,李叔叔说：“别单独称空纸箱了,装花生和装苹果的纸箱的质量相同,所以称苹果时也带纸箱就可以了,这样既省事又都不吃亏。”你认为李叔叔说得对吗？请用学过的知识加以解答。
解 李叔叔说得不对。理由如下：设王伯伯的花生的质量为$x\ kg$,装花生的纸箱的质量为$y\ kg$,则单独称空纸箱时应换得苹果$0.8x\ kg$,不单独称空纸箱时应换得苹果$0.8(x + y) - y = 0.8x + 0.8y - y = (0.8x - 0.2y)\ kg$。显然,不单独称空纸箱时王伯伯少换得苹果$0.2y\ kg$,即不单独称空纸箱时王伯伯吃亏了,故李叔叔说得不对。

答案： 李叔叔说得不对。
设王伯伯的花生质量为$x\ kg$，装花生的纸箱质量为$y\ kg$。
单独称空纸箱时，应换得苹果$0.8x\ kg$。
不单独称空纸箱时，称得花生和纸箱总质量为$(x + y)\ kg$，应换得苹果质量为$0.8(x + y) - y$，计算得：
$0.8(x + y)-y=0.8x + 0.8y - y=0.8x-0.2y$。
因为$0.8x-(0.8x - 0.2y)=0.2y\gt0$，所以不单独称空纸箱时王伯伯少换得苹果$0.2y\ kg$，王伯伯吃亏，故李叔叔说得不对。