《2025年同步练习册人民教育出版社七年级数学上册人教版山东专版》

例 3 某款手机后置摄像头的示意图如图所示. 其中外面的最大的圆的半径为 $ r $,最中间较小的圆的半径为 $ \frac{1}{2}r $,4 个半径为 $ \frac{1}{5}r $ 的高清圆形镜头分布在两圆之间.
(1) 用含 $ r $ 的代数式表示图中阴影部分的面积；(结果保留 $ \pi $)
(2) 当 $ r = 2 cm $ 时,求图中阴影部分的面积.($ \pi $ 取 3)

解 (1) 阴影部分的面积为 $ \pi r^{2} - \pi×(\frac{1}{2}r)^{2} - \pi×(\frac{1}{5}r)^{2}×4 $.
(2) 当 $ r = 2 cm $、$ \pi $ 取 3 时,
原式 $ = 3×2^{2} - 3×(\frac{1}{2}×2)^{2} - 3×(\frac{1}{5}×2)^{2}×4 = \frac{177}{25} (cm^{2}) $.

答案：
(1)
$S = \pi r^{2} - \pi × \left(\frac{1}{2}r\right)^{2} - 4 × \pi × \left(\frac{1}{5}r\right)^{2}$
$ = \pi r^{2} - \frac{1}{4} \pi r^{2} - \frac{4}{25} \pi r^{2}$
$ = \frac{25}{25} \pi r^{2} - \frac{25}{100} \pi r^{2} - \frac{16}{100} \pi r^{2$
$ = \frac{100 - 25 - 16}{100} \pi r^{2}$
$ = \frac{59}{100} \pi r^{2}$
(2)
当 $ r = 2 \, cm $，$ \pi = 3 $ 时，
$S = \frac{59}{100} × 3 × 2^{2} $
$ = \frac{59}{100} × 3 × 4 $
$ = \frac{59 × 12}{100} $
$ = \frac{708}{100} $
$ = \frac{177}{25} \, cm^{2}$

1. 当 $ a = 2 $,$ b = -3 $ 时,代数式 $ 3a + 2ab - 6b $ 的值是 12.

答案： 12 解析 当a=2，b=-3时，3a+2ab-6b=3×2+2×2×(-3)-6×(-3)=6-12+18=12.

2. 当 $ x = 4 $ 时,代数式 $ x^{2} - 2x - 8 $ 的值为 0.

答案： 0 解析 当x=4时，x²-2x-8=4²-2×4-8=0.

3. 当 $ a = -2 $,$ b = 3 $ 时,试比较下列各式的值的大小：
(1) $ a + b $ ＞ $ ab $；
(2) $ (a + b)^{2} $ ＜ $ a^{2} + b^{2} $.

答案： （1）＞ （2）＜ 解析（1）当a=-2，b=3时，a+b=1，ab=-6. 因此a+b＞ab.（2）当a=-2，b=3时，(a+b)²=[(-2)+3]²=1，a²+b²=(-2)²+3²=13. 因此(a+b)²＜a²+b².