《2025年同步练习册人民教育出版社七年级数学上册人教版山东专版》

4. 规定 $ a \triangle b = a - 2b $,则 $ 3 \triangle (-2) $ 的值为(7)
A.7
B.-5
C.1
D.-1

答案： A 解析 由题意得$3\triangle(-2)=3-2×(-2)=3+4=7$.

5. 在算式 $ 1 - |(-3) ◯ 2| $ 中的 $ ◯ $ 里,填入一个运算符号,使得算式的值最小,则这个符号是(C)
A.+
B.-
C.×
D.÷

答案： C 解析 $1-\vert(-3)+2\vert=0$；$1-\vert(-3)-2\vert=-4$；$1-\vert(-3)×2\vert=-5$；$1-\vert(-3)÷2\vert=-\dfrac{1}{2}$.因此要使算式的值最小，这个符号应是$×$.

6. 定义一种新运算：$ a ※ b = \begin{cases} a - b, & a \geq b \\ 3b, & a ＜ b \end{cases} $,解决下列问题：
(1)$ (-2) ※ (-4) = $2；
(2)$ 2 ※ 3 - 4 ※ 3 = $8.

答案： （1）2 （2）8 解析（1）根据题中的新定义得原式$=(-2)-(-4)=-2+4=2$.
（2）$2※3-4※3=3×3-(4-3)=9-1=8$.

7. 研究表明：在山地,气温随海拔的升高而降低,一般海拔每升高 100 m,气温约下降 $ 0.6 ^ { \circ } C $. 已知位于吉林省的长白山天池的海拔为 2189.1 m,若当地海拔 1000 m 处的气温是 $ 4 ^ { \circ } C $,则此时长白山天池的气温约为-3$ ^ { \circ } C $.(结果保留整数)

答案： $-3$ 解析 由题意得$4-(2189.1-1000)÷100×0.6\approx-3\ ({^{\circ}C})$，所以此时长白山天池的气温约为$-3\ {^{\circ}C}$.

8. 计算：
(1)$ \frac{4}{3} × (1.5 - \frac{1}{4}) - 1 ÷ \frac{2}{3} $；
(2)$ 5 × (-5) + 90 ÷ (-\frac{1}{5}) $；
(3)$ | - 5 | + 81 ÷ 2\frac{1}{4} × (-\frac{4}{9}) $；
(4)$ \frac{3}{4} × (-5) - 12 × (-\frac{3}{4}) - 0.75 × 3 $.

答案： 解（1）原式$=\dfrac{4}{3}×\dfrac{5}{4}-1×\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{3}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{1}{6}$.
（2）原式$=-25+90×(-5)=-25+(-450)=-475$.
（3）原式$=5+81×\dfrac{4}{9}×\left(-\dfrac{4}{9}\right)=5-16=-11$.
（4）原式$=\dfrac{3}{4}×(-5)+12×\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{4}×3=\dfrac{3}{4}×[(-5)+12-3]=\dfrac{3}{4}×4=3$.

9. 已知 $ a $,$ b $ 均为非 0 的有理数,求 $ \frac{a}{|a|} + \frac{b}{|b|} + \frac{ab}{|ab|} $ 的所有可能值.

答案： 解 ①当$a＞0$，$b＞0$时，
原式$=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{ab}{ab}=3$；
②当$a＞0$，$b＜0$时，
原式$=\dfrac{a}{a}+\dfrac{b}{-b}+\dfrac{ab}{-ab}=-1$；
③当$a＜0$，$b＞0$时，
原式$=\dfrac{a}{-a}+\dfrac{b}{b}+\dfrac{ab}{-ab}=-1$；
④当$a＜0$，$b＜0$时，
原式$=\dfrac{a}{-a}+\dfrac{b}{-b}+\dfrac{ab}{ab}=-1$.
综上，$\dfrac{a}{\vert a\vert}+\dfrac{b}{\vert b\vert}+\dfrac{ab}{\vert ab\vert}$的值可能为3或$-1$.

10. 我们知道,每个自然数都有因数. 将一个自然数的所有正奇数因数之和减去所有正偶数因数之和,再除以这个自然数所得的商叫作这个自然数的“完美指标”. 例如：10 的正因数有 1,2,5,10,它的正奇数因数有 1,5,它的正偶数因数有 2,10. 所以 10 的“完美指标”是 $ [(1 + 5) - (2 + 10)] ÷ 10 = -\frac{3}{5} $. 我们规定,若一个自然数的“完美指标”的绝对值越小,这个数就越“完美”. 例如,因为 6 的“完美指标”是 $ [(1 + 3) - (2 + 6)] ÷ 6 = -\frac{2}{3} $,7 没有正偶数因数,7 的“完美指标”是 $ (1 + 7) ÷ 7 = \frac{8}{7} $,且 $ |-\frac{2}{3}| ＜ |\frac{8}{7}| $,所以 6 比 7 更“完美”.
根据上述材料,求出 18,19,20,21 这四个自然数中最“完美”的数.

答案： 解 18的正因数有1，2，3，6，9，18，正奇因数有1，3，9，正偶因数有2，6，18，18的“完美指标”是$[(1+3+9)-(2+6+18)]÷18=-\dfrac{13}{18}$；19的正因数有1，19，正奇因数有1，19，无正偶因数，19的“完美指标”是$(1+19)÷19=\dfrac{20}{19}$；20的正因数有1，2，4，5，10，20，正奇因数有1，5，正偶因数有2，4，10，20，20的“完美指标”是$[(1+5)-(2+4+10+20)]÷20=-\dfrac{3}{2}$；21的正因数有1，3，7，21，正奇因数有1，3，7，21，无正偶因数，21的“完美指标”是$(1+3+7+21)÷21=\dfrac{32}{21}$.因为$\left\vert-\dfrac{13}{18}\right\vert＜\left\vert\dfrac{20}{19}\right\vert＜\left\vert-\dfrac{3}{2}\right\vert＜\left\vert\dfrac{32}{21}\right\vert$，所以18是18，19，20،21这四个自然数中最“完美”的数.