《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,$AB$是直径,过点$A作\odot O的切线AD$。若$\angle B = 35^{\circ}$,则$\angle DAC$的度数是______度。

答案： 35

2. 如图,$AB是\odot O$的直径,$MN是\odot O$的切线,切点为$N$,如果$\angle MNB = 52^{\circ}$,则$\angle NOA$的度数为______。

答案： $76°$

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,$AC是\odot O$的切线,连接$OC交\odot O于点D$,连接$BD$,$\angle C = 40^{\circ}$,则$\angle ABD = $______$^{\circ}$。

答案： 25

4. 如图,过点$M(3,0)作半径为1$的圆,过点$P(0,2)作\odot M$的切线,$Q$为切点,则$PQ$的长为______。

答案： $2\sqrt{3}$

问题 已知直线$l切\odot O于点C$,$AD为\odot O$的任一条直径,点$B在直线l$上,且$\angle BAC = \angle CAD$($AB与AD$不在同一条直线上),画出图形,试判断四边形$ABCO$是怎样的特殊四边形,并证明你所得出的结论。
名师指导
本题可根据题意先画出$\odot O与它的切线l$,再画直径$AD$,最后根据$\angle BAC = \angle ACO来确定点B$的位置。在探索四边形$ABCO$的形状时,可转动直径$AD$,画出几个不同图形进行观察和猜想。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
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答案： 解：四边形ABCO是直角梯形。
证明：
1. 连接OC，
∵直线l切⊙O于点C，
∴OC⊥l（切线垂直于过切点的半径）。
2.
∵AD是⊙O直径，
∴OA=OC（同圆半径相等），
∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。
3.
∵∠BAC=∠CAD，且∠CAD=∠OAC（D在直径AD上），
∴∠BAC=∠OCA。
4.
∵∠BAC=∠OCA，
∴AB//OC（内错角相等，两直线平行）。
5.
∵OC⊥l，点B在l上，
∴OC⊥BC，又AB//OC，
∴AB⊥BC（两直线平行，同位角相等），即∠ABC=90°。
6.
∵AB//OC且∠ABC=90°，
∴四边形ABCO是直角梯形。
结论：四边形ABCO是直角梯形。