《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

问题 关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+2kx + 2 = 0$. 求证：无论 $k$ 为何值,方程总有实数根.
名师指导
已知条件并没有明确指出此整式方程是几次方程,也未说明有几个实数根,因而必须分两种情况进行讨论. 该方程是一元一次方程或是一元二次方程,即 $k = 1$ 或 $k\neq1$.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案： 当 $k = 1$ 时：
原方程变为 $2x + 2 = 0$，
解得 $x = -1$，
此时方程有一个实数根。
当 $k \neq 1$ 时：
原方程为一元二次方程 $(k - 1)x^{2} + 2kx + 2 = 0$，
其判别式为：
$\Delta = (2k)^{2} - 4(k - 1) × 2$
$= 4k^{2} - 8k + 8$
$= 4(k - 1)^{2} + 4$
由于 $(k - 1)^{2} \geq 0$，
所以 $\Delta = 4(k - 1)^{2} + 4 ＞ 0$，
因此，当 $k \neq 1$ 时，方程有两个不相等的实数根。
综上，无论 $k$ 为何值，方程总有实数根。

1. 下列一元二次方程没有实数根的是( )

A.$x^{2}+2x + 1 = 0$
B.$x^{2}+x + 2 = 0$
C.$x^{2}-1 = 0$
D.$x^{2}-2x - 1 = 0$

答案： B

2. 若一元二次方程 $mx^{2}-2x + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $m$ 的取值范围是( )

A.$m\lt1$
B.$m\lt1$ 且 $m\neq0$
C.$m\leqslant1$ 且 $m\neq0$
D.$m\gt1$

答案： B

3. 对于实数 $a$,$b$ 定义运算“☆”如下：$a☆b = ab^{2}-ab$. 例如：$3☆2 = 3×2^{2}-3×2 = 6$,则方程 $1☆x = 2$ 的根的情况为( )

A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根

答案： D

4. 不解方程,判别下列方程的根的情况：
(1) $2x^{2}-4x - 3 = 0$；
(2) $2x^{2}+1 = -2\sqrt{2}x$；
(3) $4x^{2}-5x+\sqrt{3} = 0$；
(4) $x^{2}+2ax + a^{2}-1 = 0$($a$ 为任意实数).

答案： （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；（4）有两个不相等的实数根.