《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

25. (8 分)阅读下列材料:
问题:已知方程 $x^{2}+x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的 $2$ 倍.
解:设所求方程的根为 $y$,则 $y = 2x$,所以 $x= \frac{y}{2}$,把 $x= \frac{y}{2}$ 代入已知方程,得 $(\frac{y}{2})^{2}+\frac{y}{2}-1 = 0$.
化简,得 $y^{2}+2y - 4 = 0$,
故所求方程为 $y^{2}+2y - 4 = 0$.
这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”.
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式):
(1) 已知方程 $x^{2}+2x - 1 = 0$,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为______;
(2) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0(a \neq 0)$ 有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数.

答案： （1）$y^{2}-2y-1=0$；（2）设所求方程的根为$y$,则$y=\frac{1}{x}(x\neq0)$,于是$x=\frac{1}{y}(y\neq0)$,把$x=\frac{1}{y}$代入方程$ax^{2}+bx+c=0$,得$a(\frac{1}{y})^{2}+b(\frac{1}{y})+c=0$,去分母，得$a+by+cy^{2}=0$,若$c=0$,有$ax^{2}+bx=0$,于是，方程$ax^{2}+bx+c=0$有一个根为0，不合题意，
∴$c\neq0$,故所求方程为$cy^{2}+by+a=0(c\neq0)$

26. (9 分)某企业安排 $65$ 名工人生产甲、乙两种产品,每名工人每天可生产 $2$ 件甲产品或 $1$ 件乙产品,且每名工人每天只能生产一种产品,甲产品每件可获利 $15$ 元. 根据市场需求,乙产品每天产量不少于 $5$ 件,当乙产品每天生产 $5$ 件时,每件可获利 $120$ 元,每增加 $1$ 件,当天平均每件利润减少 $2$ 元,设每天安排 $x(x \geqslant 5)$ 名工人生产乙产品.
(1) 用含 $x$ 的代数式表示每天生产甲产品的工人有______名;每件乙产品可获利润______元.
(2) 若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多 $550$ 元,求每件乙产品可获得的利润.
(3) 该企业在不增加工人数量的情况下,增加生产丙产品,要求每天甲、丙两种产品的产量相等. 已知每名工人每天可生产 $1$ 件丙产品,丙产品每件可获利 $30$ 元,求该企业每天生产三种产品可获得的总利润为 $3198$ 元时 $x$ 的值.

答案： （1）$(65-x)$；$(130-2x)$.（2）每件乙产品可获得的利润是110元；（3）$x$的值为26