《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 因式分解：(1) $ x^{2}-4x= $____；(2) $ 4y^{2}-9= $____；(3) $ 4a^{2}-4a+1= $____.

答案：
(1)$x(x-4)$；
(2)$(2y+3)(2y-3)$；
(3)$(2a-1)^{2}$.

2. 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^{2}+4x+m^{2}-3m= 0 $ 的一个根为 $ 0 $,则 $ m $ 的值为____.

答案： 3

3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ x^{2}+6x= 0 $；(2) $ x^{2}+2x+1= 0 $；(3) $ y^{2}-4= 0 $.

答案：
(1)$x_{1}=0$,$x_{2}=-6$；
(2)$x_{1}=x_{2}=-1$；
(3)$y_{1}=2$,$y_{2}=-2$.

问题 已知实数 $ x,y $ 满足 $ (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-2)= -1 $,求 $ x^{2}+y^{2} $ 的值.
名师指导
如果能够把 $ x^{2}+y^{2} $ 视为一个整体,则已知条件可以转化成一元二次方程的形式,用因式分解法可以解这个一元二次方程.
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案： $ 1 $

1. 方程 $ (x+3)(x-4)= 0 $ 的根是____.

答案： $x_{1}=-3$,$x_{2}=4$.

2. 若 $ (2x+3y)^{2}+2(2x+3y)-8= 0 $,则 $ 2x+3y= $____.

答案： 2或-4.

3. 用因式分解法解下列方程：
(1) $ (x-5)^{2}+6x(x-5)= 0 $；(2) $ x(x-2)= 2-x $.

答案：
(1)$x_{1}=5$,$x_{2}=\frac{5}{7}$；
(2)$x_{1}=2$,$x_{2}=-1$.

4. 一块矩形菜地的面积是 $ 120m^{2} $,如果它的长减少 $ 2m $,那么菜地就变成正方形,求原菜地的长.

答案： 设原菜地的长为$x\ m$,则宽为$(x-2)\ m$.根据题意,得$x(x-2)=120$.解得$x_{1}=12$,$x_{2}=-10$(不合题意,舍去).

根据要求,解答下列问题.
(1) 解下列方程：
① 方程 $ x^{2}-2x+1= 0 $ 的解为____；
② 方程 $ x^{2}-3x+2= 0 $ 的解为____；
③ 方程 $ x^{2}-4x+3= 0 $ 的解为____；
……

答案： ①$x_{1}=1$,$x_{2}=1$；②$x_{1}=1$,$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$,$x_{2}=3$；