《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 如图,四边形 $ ABCD $ 内接于圆,对角线 $ AC $ 与 $ BD $ 相交于点 $ E $,点 $ F $ 在 $ AC $ 上,$ AB = AD $,$ \angle BFC = \angle BAD = 2\angle DFC $。
求证：(1)$ CD \perp DF $；
(2)$ BC = 2CD $。

答案：
证明:
(1) $\because AB=AD,\therefore \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AD}.\therefore \angle ACB=\angle ACD.\because \angle DAB+\angle DCB=180^{\circ},\angle BAD=2\angle DFC,\therefore \frac{1}{2}\angle BAD+\frac{1}{2}\angle DCB=90^{\circ}$,即$\angle DFC+\angle FCD=90^{\circ}.\therefore \angle CDF=90^{\circ}$,即$CD\perp DF$.
(2) 过点 F 作$FG\perp BC$(如图),$\therefore \angle FGC=90^{\circ}.\because \angle FDC=90^{\circ},\therefore \angle FGC=\angle FDC$.又$\because \angle FCG=\angle FCD,FC=FC,\therefore \triangle FGC\cong \triangle FDC.\therefore CD=CG,\angle CFG=\angle CFD$.又$\because \angle BFC=2\angle DFC.\therefore \angle BFG=\angle CFG.\therefore \triangle BFG\cong \triangle CFG.\therefore BG=CG.\therefore BC=2CD$.

2. 如图,$ AB $ 是 $ \odot O $ 的直径,$ CD $ 是 $ \odot O $ 的一条弦,$ AB \perp CD $,连接 $ AC $,$ OD $。
(1)求证：$ \angle BOD = 2\angle A $；
(2)连接 $ DB $,过点 $ C $ 作 $ CE \perp DB $,交 $ DB $ 的延长线于点 $ E $,延长 $ DO $,交 $ AC $ 于点 $ F $,若 $ F $ 为 $ AC $ 的中点,求证：直线 $ CE $ 为 $ \odot O $ 的切线。

答案： 提示:
(1) 设 AB 交 CD 于点 H,连接 OC,证明$Rt\triangle COH\cong Rt\triangle DOH$,故可得$\angle COH=\angle DOH$,于是$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$,即可得到$\angle BOD=2\angle A$;
(2) 连接 AD,解出$\angle COB=60^{\circ}$,根据 AB 为直径得到$\angle ADB=90^{\circ}$,进而得到$\angle ABD=60^{\circ}$,即可证明$OC// DB$,故可证明直线 CE 为$\odot O$的切线.

3. 如图,一个带盖的圆锥形容器的剖面是一个等边三角形,它的腰长等于圆锥的母线长,底边长等于圆锥底面直径。
(1)求圆锥形容器的侧面积和它的侧面展开图的圆心角 $ \alpha $；
(2)有一块直径为 $ 60 cm $ 的圆形铁皮,如何裁剪才可以做成这个带盖的圆锥形容器(不考虑接缝处的用料,用图表示出裁剪方法,画图工具不限,不要求写画法)？

答案：
解:
(1) $\because$ 扇形的半径$R=30$,弧长$l=30\pi,\therefore S_{扇形}=\frac{1}{2}lR=450\pi$.又$l=\frac{n\pi R}{180},\therefore n=\frac{180× 30\pi}{\pi× 30}=180.\therefore \alpha=180^{\circ}$.
(2) 裁剪方法如图所示,上半圆围成圆锥,下半圆中的小圆作盖.