《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

25. (10 分)已知抛物线 $y = mx^{2}-2mx + m - 2$。
(1)求证：无论 $m$ 取何值,抛物线过一定点；
(2)若抛物线与 $x$ 轴有两个交点,求 $m$ 的取值范围。

答案： （1）$ \because y=mx^{2}-2mx+m-2=m(x-1)^{2}-2 $,$ \therefore $当$ x=1 $时,$ y=-2 $.故抛物线$ y=mx^{2}-2mx+m-2 $必过点$ (1,-2) $;（2）由于点$ (1,-2) $是抛物线的顶点,所以要使抛物线与$ x $轴有两个交点,只要$ m＞0 $就可以.

26. (10 分)在平面直角坐标系 $xOy$ 中,对于 $A$,$A'$ 两点,若在 $y$ 轴上存在点 $T$,使得$\angle ATA' = 90^{\circ}$,且 $TA = TA'$,则称 $A$,$A'$ 两点互相关联,把其中一个点叫作另一个点的关联点。已知点 $M(-2,0)$,$N(-1,0)$,点 $Q(m,n)$ 在一次函数 $y = -2x + 1$ 的图象上。
(1)① 如图,在点 $B(2,0)$,$C(0,-1)$,$D(-2,-2)$ 中,点 $M$ 的关联点是___(填“B”“C”或“D”)；
② 若在线段 $MN$ 上存在点 $P(1,1)$ 的关联点 $P'$,则点 $P'$ 的坐标是___；
(2)若在线段 $MN$ 上存在点 $Q$ 的关联点 $Q'$,求实数 $m$ 的取值范围。

答案： （1）① B;② $ (-2,0) $;（2）$ \frac{2}{3} \leqslant m \leqslant 1 $或$ -1 \leqslant m \leqslant 0 $;

27. (14 分)如图,顶点为 $A(2,-1)$ 的抛物线经过点 $B(-2,3)$。设动点 $C$ 在对称轴上,纵坐标为 $t$,过点 $C$ 的直线 $y = kx + b$ 与抛物线交于点 $M(m,p)$,$N(n,q)$。
(1)求抛物线的解析式；
(2)用含 $k$,$t$ 的代数式表示 $m + n$ 与 $mn$；
(3)若$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}$为定值,直线 $y = kx + b$ 是否过确定的点 $C$？如过确定点 $C$,请求出点 $C$ 坐标；否则请说明理由。

答案： （1）$ y=\frac{1}{4}x^{2}-x $;（2）$ m+n=4k+4 $,$ mn=8k-4t $;（3）$ C(2,-2) $或$ C(2,0) $