《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

6. 如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴交于 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $ 两点。
(1)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
(2)设(1)中的抛物线上有一个动点 $ P $,当点 $ P $ 在该抛物线上滑动到什么位置时,满足 $ S_{\triangle PAB} = 8 $？求出此时点 $ P $ 的坐标。
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答案： （1）对称轴为直线$x=1$,顶点坐标为$(1,-4)$；（2）$(1+2\sqrt{2},4)$或$(1-2\sqrt{2},4)$或$(1,-4)$.

如图(1),在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的顶点为点 $ D $,与 $ y $ 轴交于点 $ C $,与 $ x $ 轴交于点 $ A(-1,0) $,$ B(3,0) $。
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点 $ P $ 是 $ x $ 轴上一动点,当 $ \triangle PCD $ 的周长最小时,求点 $ P $ 的坐标；
(3)如图(2),若点 $ G(2,m) $ 是该抛物线上一点,点 $ E $ 是直线 $ AG $ 下方抛物线上的一动点,点 $ E $ 到直线 $ AG $ 的距离为 $ d $,求 $ d $ 的最大值。
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答案： （1）$y=x^{2}-2x-3$；（2）$\left(\dfrac{3}{7},0\right)$；（3）$\dfrac{9\sqrt{2}}{8}$.

1. 若二次函数$y = x^{2}+mx的对称轴是直线x = 3$,则关于$x的方程x^{2}+mx = 7$的解为( )

A.$x_{1}= 0$,$x_{2}= 6$
B.$x_{1}= 1$,$x_{2}= 7$
C.$x_{1}= 1$,$x_{2}= -7$
D.$x_{1}= -1$,$x_{2}= 7$

答案： D

2. 抛物线$y = -\frac{1}{2}x^{2}-2x-\frac{3}{2}与x$轴的交点个数是______。

答案： 2个

3. 抛物线$y = a(x - 5)(x + 3)与x$轴的交点坐标为______。

答案： $(5,0),(-3,0)$