《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

8. 已知点 $ A(-1, a) $ 与 $ B(b, 8) $ 是关于原点 $ O $ 的对称点,则 $ a = $ $ $,$ b = $ $ $.

答案： -8:1

9. 如图,把 $ \triangle ABC $ 绕点 $ A $ 逆时针旋转 $ 42^{\circ} $得到 $ \triangle AB'C' $,点 $ C' $ 恰好落在边 $ AB $ 上,连接 $ BB' $,则 $ \angle B'BC' $ 的大小为 $ $ $ $.

答案： 69°

10. 如图,$ \triangle ABC $ 按逆时针方向旋转了 $ 80^{\circ} $后成为 $ \triangle AB'C' $,已知 $ \angle B = 60^{\circ} $,$ \angle C' = 55^{\circ} $,则 $ \angle BAC' = $ $ ^{\circ} $.

答案： 15

11. 如图,菱形 $ ABCD $ 的对角线的长分别为 $ 2 $ 和 $ 5 $,$ P $ 是对角线 $ AC $ 上一点,且 $ PE // BC $ 交 $ AB $ 于 $ E $,$ PF // CD $ 交 $ AD $ 于 $ F $,则阴影部分的面积是 $ $ $ $.

答案： $\frac{5}{2}$

12. 直线 $ y = x + 3 $ 上有一点 $ P(m - 5, 2m) $,则点 $ P $ 关于原点的对称点 $ P' $ 为 $ $ $ $.

答案： (7,4)

13. 如图,在菱形 $ ABCD $ 中,$ AB = 2 $,$ \angle BAD = 60^{\circ} $,将菱形 $ ABCD $ 绕点 $ A $ 按逆时针方向旋转,对应得到菱形 $ AEFG $,点 $ E $ 在 $ AC $ 上,$ EF $ 与 $ CD $ 交于点 $ P $,则 $ DP $ 的长是 $ $ $ $.

答案： $\sqrt{3}-1$

14. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle CAB = 20^{\circ} $,$ \angle ABC = 30^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕 $ A $ 点逆时针旋转 $ 50^{\circ} $得到 $ \triangle AB'C' $,以下结论：① $ BC = B'C' $；② $ AC // C'B' $；③ $ C'B' \perp BB' $；④ $ \angle ABB' = \angle ACC' $,其中正确的有 $ $ $ $.(填写序号)

答案： ①②④

15. (7 分)如图,$ \triangle ABC $ 绕点 $ O $ 旋转后,顶点 $ B $ 的对应点为 $ E $,试确定顶点 $ A $,$ C $ 对应点的位置,以及旋转后的三角形.

答案： 1. 连接OB、OE，确定旋转中心O及旋转角∠BOE；
2. 连接OA，以O为圆心、OA为半径画弧；以O为顶点，OA为一边，在与∠BOE相同的旋转方向上作∠AOA'=∠BOE，射线OA'与弧交于点A'（A'为A的对应点）；
3. 连接OC，以O为圆心、OC为半径画弧；以O为顶点，OC为一边，在相同旋转方向上作∠COC'=∠BOE，射线OC'与弧交于点C'（C'为C的对应点）；
4. 连接A'、E、C'，则△A'EC'即为△ABC绕点O旋转后的三角形。
结论：顶点A、C的对应点分别为A'、C'，旋转后的三角形为△A'EC'。

16. (7 分)如图,在 $ Rt\triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ \angle B = 30^{\circ} $,将 $ \triangle ABC $ 绕点 $ C $ 按顺时针方向旋转 $ n $ 度后,得到 $ \triangle DEC $,点 $ D $ 刚好落在 $ AB $ 边上.
(1)求 $ n $ 的值；
(2)若 $ F $ 是 $ DE $ 的中点,判断四边形 $ ACFD $ 的形状,并说明理由.

答案：
(1) 60；
(2) 四边形 ACFD 是菱形；理由略.