《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - (k + 1)x - 6 = 0$的一个根是 2,求$k$的值及方程的另一个根。

答案： 解：一元二次方程$x^{2}-(k+1)x-6=0$的一个根是2，将$x=2$代入方程，得$2^{2}-2(k+1)=6$，解得$k=-2$.原方程即为$x^{2}+x-6=0$，解此方程得$x_{1}=-3,x_{2}=2$.故方程的另一根为-3，k的值为-2.

2. 解方程：$x^2 - 2x = 2x + 1$。

答案： 解：（1）配方法.移项，得$x^{2}-4x=1$.配方，得$x^{2}-4x+2^{2}=1+2^{2}$，$(x-2)^{2}=5$.由此可得$x-2=\pm \sqrt{5}$，$x_{1}=2+\sqrt{5},x_{2}=2-\sqrt{5}$.（2）公式法.方程化为$x^{2}-4x-1=0$.$a=1,b=-4,c=-1$.$\Delta =b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4×1×(-1)=20＞0$.因此，方程有两个不相等的实数根$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-4)\pm \sqrt{20}}{2×1}=\frac{4\pm 2\sqrt{5}}{2}=2\pm \sqrt{5}$，$x_{1}=2+\sqrt{5},x_{2}=2-\sqrt{5}$

3. 已知关于$x的一元二次方程(x - 1)(x - 4) = p^2$,$p$为实数。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根。
(2)当$p$为何值时,方程有整数解？并说明理由。

答案： 解：（1）化简方程，得$x^{2}-5x+(4-p^{2})=0$，$\therefore \Delta =(-5)^{2}-4(4-p^{2})=9+4p^{2}$.$\because p$为实数，$p^{2}\geq 0$，$\therefore 9+4p^{2}＞0$，即$\Delta ＞0$，$\therefore$方程有两个不相等的实数根. （2）当$p$为0，2，-2时，方程有整数解.理由如下：设方程两根为$x_{1},x_{2}$，根据一元二次方程根与系数的关系，可知$x_{1}+x_{2}=5$，$x_{1}x_{2}=4-p^{2}$，能满足$x_{1},x_{2}$都是整数的$p$的值有0，2，-2.

4. 菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克 5 元的单价对外批发销售,由于部分菜农盲目扩大种植,造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售,减少损失,对价格进行两次下调后,以每千克 3.2 元的单价对外批发销售。
(1)求平均每次下调的百分率；
(2)小华准备到李伟处购买 5 吨该蔬菜,因数量多,李伟决定再给予两种优惠方案以供选择。方案一：打九折销售。方案二：不打折,每吨优惠现金 200 元。
试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由。

答案： 解：（1）设平均每次下调的百分率为x.由题意，得$5(1-x)^{2}=3.2$.解这个方程，得$x_{1}=0.2$，$x_{2}=1.8$.因为降价的百分率不可能大于1，所以$x_{2}=1.8$不符合题意，符合题目要求的是$x_{1}=0.2=20\%$.故平均每次下调的百分率是20%.
（2）小华选择方案一购买优惠.理由：方案一所需费用为$3.2×0.9×5000=14400$（元），方案二所需费用为$3.2×5000-200×5=15000$（元）.$\because 14400＜15000$，$\therefore$小华选择方案一购买更优惠.