《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 下列各角中,是圆心角的是( )

答案： D.

2. 如图,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{AC}$,$\angle A = 40^{\circ}$,则$\angle B= $______.

答案： $70^{\circ}$.

3. 若一条弦把圆周分成$1:2$的两段弧,则劣弧所对圆心角的度数是______$^{\circ}$.

答案： $120$.

4. 下列说法：①等弧所对的圆心角相等；②相等的圆心角所对的弧是等弧；③在同圆中,若$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$,则$AB = 2CD$；④在$\odot O$中,若$\angle AOB = 2\angle COD$,则$\overset{\frown}{AB}= 2\overset{\frown}{CD}$.其中说法正确的是______(填序号).

答案： ①④.

问题 已知$A$,$B$,$C为\odot O$上的三点,且有$\overset{\frown}{AB}= \overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{CA}$,连接$AB$,$BC$,$CA$.
(1)试确定$\triangle ABC$的形状；
(2)若$AB = a$,求$\odot O$的半径.
名师指导
由圆心角、弦、弧之间的关系,可知$\triangle ABC$为等边三角形；过圆心$O作\triangle ABC$一边的垂线,利用勾股定理建立方程,可求$\odot O$的半径.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1)
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴$AB=BC=CA$（同圆中相等的弧所对的弦相等），
∴$\triangle ABC$是等边三角形。
(2)设$\odot O$的半径为$R$，连接$OA$，$OB$，则$OA=OB=R$。
∵$\overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CA}$，
∴$\angle AOB=\frac{360°}{3}=120°$。
过$O$作$OD\perp AB$于$D$，则$AD=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$，$\angle AOD=\frac{1}{2}\angle AOB=60°$。
在$Rt\triangle AOD$中，$\angle OAD=30°$，
∴$OD=\frac{1}{2}OA=\frac{R}{2}$。
由勾股定理得：$AD^2+OD^2=OA^2$，即$(\frac{a}{2})^2+(\frac{R}{2})^2=R^2$。
化简得：$\frac{a^2}{4}+\frac{R^2}{4}=R^2$，$\frac{a^2}{4}=\frac{3R^2}{4}$，$R^2=\frac{a^2}{3}$，
∴$R=\frac{\sqrt{3}a}{3}$（$R＞0$）。
答：
(1)$\triangle ABC$是等边三角形；
(2)$\odot O$的半径为$\frac{\sqrt{3}a}{3}$。