《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 用公式法解下列方程：
(1) $x^{2}+3x + 1 = 0$；
(2) $x^{2}-4x - 21 = 0$；
(3) $2y^{2}-3y+\frac{17}{8} = 0$；
(4) $4x^{2}-3x - 1 = x - 2$；
(5) $3x(x - 3)= 2(x - 1)(x + 1)$；
(6) $8y - 1 = 4y^{2}$.

答案： （1）$x_1=\dfrac{-3-\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\dfrac{-3+\sqrt{5}}{2}$；（2）$x_1=7$，$x_2=-3$；（3）无实数根；（4）$x_1=x_2=\dfrac{1}{2}$；（5）$x_1=\dfrac{9+\sqrt{73}}{2}$，$x_2=\dfrac{9-\sqrt{73}}{2}$；（6）$y_1=\dfrac{2+\sqrt{3}}{2}$，$y_2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2}$.

2. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+mx + n = 0$ 有两个相等的实数根,则 $m$ 与 $n$ 之间有怎样的关系？请写出符合条件的两组 $m$,$n$ 的值.

答案： $m^2=4n$，$\begin{cases} m=2, \\ n=1; \end{cases}\begin{cases} m=4, \\ n=4; \end{cases}$等.

已知 $a\gt b$,且有 $3a^{2}+5a - 1 = 0$,$3b^{2}+5b - 1 = 0$.
(1) $a$,$b$ 是不是方程 $3x^{2}+5x - 1 = 0$ 的根？
(2) 求 $a$,$b$ 的值.

答案： （1）$a$，$b$是方程$3x^2+5x-1=0$的根；（2）$a=\dfrac{-5+\sqrt{37}}{6}$，$b=\dfrac{-5-\sqrt{37}}{6}$.