《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

11. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + 4m + 1 = 0$ 的两实数根异号,则实数 $m$ 的取值范围是___。

答案： $ m＜-\frac{1}{4} $

12. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+4x + a = 0$ 有两个不相等的实数根,则 $a$ 的取值范围是___。

答案： $ a＜4 $

13. 若方程 $x^{2}+px + q = 0$ 的两个根是 $-2\sqrt{2}$ 和 $3\sqrt{2}$,则 $p= $___,$q= $___。

答案： $ -\sqrt{2} $; -12

14. 请写出一个开口向上,并且与 $y$ 轴交于点 $(0,1)$ 的抛物线的解析式：$y= $___。

答案： 答案不唯一,如:$ y=x^{2}+1 $,$ y=x^{2}+x+1 $等.

15. 二次函数 $y = ax^{2}+bx + c$ 的图象如图所示,下列结论：① $2a + b = 0$；② $a + c＞b$；③ 抛物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $(3,0)$；④ $abc＞0$。其中结论正确的是___(填入正确结论的序号)。

答案： ①④

16. 若二次函数 $y = 4x^{2}-4x + c$ 的图象与坐标轴只有一个交点,则 $c$ 的取值范围是___。

答案： $ c＞1 $

17. 如图,$P$ 是正 $\triangle ABC$ 内的一点,若将 $\triangle PAB$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $\triangle P'AC$,则$\angle PAP'$的度数为___$^{\circ}$。

答案： 60

18. 如图,小好同学用计算机软件绘制函数 $y = x^{3}-3x^{2}+3x - 1$ 的图象,发现它关于点 $(1,0)$ 中心对称。若点 $A_{1}(0.1,y_{1})$,$A_{2}(0.2,y_{2})$,$A_{3}(0.3,y_{3})$,…$$,$A_{19}(1.9,y_{19})$,$A_{20}(2,y_{20})$ 都在函数图象上,这 20 个点的横坐标从 0.1 开始依次增加 0.1,则 $y_{1}+y_{2}+y_{3}+…+y_{19}+y_{20}$ 的值是___。

答案： 1

19. (10 分)解下列方程：
(1)$(x - 2)^{2}-(2x - 1)(x - 2)= 0$；
(2)$x^{2}-2x - 1 = 0$。

答案： （1）$ x_{1}=2 $,$ x_{2}=-1 $;（2）$ x_{1}=1+\sqrt{2} $,$ x_{2}=1-\sqrt{2} $

20. (10 分)2023 年,某市首条绿道免费公共自行车租赁系统正式启用,市政府投资了 112 万元,建成 40 个公共自行车站点,配置 720 辆公共自行车。之后逐年增加投资,用于建设新站点,配置公共自行车。预计 2025 年将投资 340.5 万元,新建 120 个公共自行车站点,配置 2205 辆公共自行车。
(1)请问每个站点的造价和公共自行车的单价分别是多少万元？
(2)请你求出 2023 年到 2025 年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率。

答案： （1）设每个站点造价$ x $万元,自行车单价为$ y $万元.根据题意,可得$ \begin{cases} 40x+720y=112, \\ 120x+2025y=340.5. \end{cases} $解得$ \begin{cases} x=1, \\ y=0.1. \end{cases} $（2）设2023年到2025年市政府配置公共自行车数量的年平均增长率为$ a $.根据题意,可得$ 720(1+a)^{2}=2025 $.解得$ a_{1}=\frac{3}{4}=75\% $,$ a_{2}=-\frac{33}{12} $（不符合题意,舍去）.