《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 设 $a,b$ 是方程 $x^{2}+x - 2025 = 0$ 的两个实数根,则 $a^{2}+2a + b$ 的值是( )

A.$2023$
B.$2024$
C.$-1$
D.$-2$

答案： B

2. 一元二次方程 $x^{2}-3x + 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}^{2}+3x_{2}+x_{1}x_{2}-2$ 的值是( )

A.$10$
B.$9$
C.$8$
D.$7$

答案： D

3. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $x^{2}-4x + 2 = 0$ 的两个根,则 $x_{1}+x_{2}= $______,$x_{1}x_{2}= $______,$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= $______。

答案： 4;2;12.

4. 关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-mx + 3 = 0$ 的两实数根之和为 $5$,则 $m= $______。

答案： 10

5. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $3x^{2}-19x + m = 0$ 的两个根,且 $x_{1}= \frac{m}{3}$,则 $m$ 的值为______。

答案： 16

6. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x + k - 1 = 0$ 的两个实数根,且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{1}x_{2}= 13$,则 $k$ 的值为______。

答案： $-2$

7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}= 0$ 有实数根。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 若两根为 $x_{1},x_{2}$ 且 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 7$,求 $m$ 的值。

答案： （1）$m\leqslant \dfrac{1}{4}$;（2）$m=-1$.

8. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}= 2(1 - m)x - m^{2}$ 的两实数根为 $x_{1},x_{2}$。
(1) 求 $m$ 的取值范围；
(2) 设 $y = x_{1}x_{2}+x_{1}+x_{2}$,当 $y$ 取最小值时,求相应 $m$ 的值,并求出最小值。

答案： （1）将原方程整理为$x^{2}+2(m-1)x+m^{2}=0$. $\because$ 原方程有两个实数根,$\therefore \Delta =[2(m-1)]^{2}-4m^{2}=-8m+4\geqslant 0$,得$m\leqslant \dfrac{1}{2}$.（2）当$m=1$时,$y$取最小值1.

1. 已知关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$。
(1) 求证：不论 $k$ 取什么实数值,这个方程总有实数根；
(2) 当 $k$ 为何整数时,关于 $x$ 的方程 $(k - 1)x^{2}+kx + 1 = 0$ 有两个整数根？

答案： （1）当$k=1$时,方程为一元一次方程,必有一解;当$k\neq 1$时,方程为一元二次方程,此时$\Delta =k^{2}-4(k-1)=(k-2)^{2}\geqslant 0$,方程有两个实数根.综上,不论$k$取什么实数值,这个方程总有实数根.（2）$k=0$或2.

2. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-2(m + 1)x + m^{2}+5 = 0$ 的两个实数根。
(1) 若 $(x_{1}-1)(x_{2}-1)= 28$,求 $m$ 的值；
(2) 已知等腰 $\triangle ABC$ 的一边长为 $7$,若 $x_{1},x_{2}$ 恰好是 $\triangle ABC$ 另外两边的边长,求这个三角形的周长。

答案： （1）$m=6$;（2）周长为17.