《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

24. (8 分)在平面直角坐标系中,直线 $ y = 3x + k $ 经过点 $ (1, 5) $,与抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 的对称轴交点的纵坐标为 $ -1 $,且抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 与 $ x $ 轴只有一个交点。
(1)求 $ k $,$ b $ 的值；
(2)求方程 $ x^{2} + bx + c - 4 = 0 $ 的根；
(3)抛物线 $ y = x^{2} + bx + c - 4 $ 与直线 $ y = 3x + k $ 相交,$ m $ 是它们交点的横坐标,求代数式 $ \frac{m^{6} - 205}{48} $ 的值。

答案： （1）$ k=2,b=2 $;（2）$ x_{1}=1,x_{2}=-3 $;（3）$ 1+\sqrt{21} $或$ 1-\sqrt{21} $

25. (8 分)小黄做小商品的批发生意,其中某款“中国结”每件的成本为 15 元,该款“中国结”的批发单价 $ y $(元)与一次性批发量 $ x $($ x $ 为正整数)(件)之间满足如图所示的函数关系。
(1)当 $ 200 \leq x \leq 400 $ 时,求 $ y $ 与 $ x $ 的函数解析式。
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”,共支付 7280 元,求此次批发量。
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”$ x(200 \leq x \leq 600) $ 件,小黄获得的利润为 $ w $ 元,当 $ x $ 为何值时,小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？

答案： （1）$ y=-\frac{1}{20}x+40 $,其中$ 200\leqslant x\leqslant400 $;（2）280件；（3）当$ x=250 $时，小获获得的利润最大,最大利润是3125元.

26. (10 分)在平面直角坐标系中,抛物线 $ C: y = a(x^{2} - cx - 2c^{2})(a ＞ 0) $ 交 $ x $ 轴于 $ A $,$ B $ 两点(点 $ A $ 在点 $ B $ 的左侧)。
(1)① 若 $ c = 1 $,则点 $ A $ 的坐标为 $\underline{\quad\quad}$,点 $ B $ 的坐标为 $\underline{\quad\quad}$。
② 若 $ a = c = 1 $,$ C(0, 3) $,将 $ \triangle AOC $ 绕平面内某一点旋转 $ 180^{\circ} $ 后,$ A $,$ C $ 的对应点 $ M $,$ N $ 正好落在抛物线上,求 $ M $,$ N $ 的坐标。
(2)$ H $ 为 $ y $ 轴负半轴上一点,直线 $ BH $ 交抛物线于点 $ D $,直线 $ AH $ 交抛物线于点 $ E $,$ EF \perp y $ 轴于点 $ F $,若 $ BD = HD $,求 $ \frac{EF}{AB} $。

答案： （1）①$ (-1,0) $,$ (2,0) $;②$ M\left( \frac{5}{2},\frac{7}{4} \right) $,$ N\left( \frac{3}{2},-\frac{5}{4} \right) $;（2）$ \frac{2}{3} $