《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

问题 如图,$I是\triangle ABC$的内心,$AB = 8$,$BC = 5$,$AC = 7$,求内切圆$\odot I$的半径。
名师指导
由于三角形的内心$I$到三边的距离相等,故可考虑用面积法求解。连接$AI$,$BI$,$CI$,把$\triangle ABC$分割成三个高相等的三角形,因为三角形的三边长是已知的,故关键是求出$\triangle ABC$的面积,可考虑作高$AH$,利用勾股定理求出$AH$来解决问题。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
]

答案： 解：过点A作AH⊥BC于H，设BH=x，则HC=5-x。
在Rt△ABH中，AH²=AB²-BH²=8²-x²=64-x²。
在Rt△AHC中，AH²=AC²-HC²=7²-(5-x)²=49-(25-10x+x²)=24+10x-x²。
∴64-x²=24+10x-x²，解得x=4。
∴AH²=64-4²=48，AH=4√3。
S△ABC=1/2×BC×AH=1/2×5×4√3=10√3。
连接AI、BI、CI，设内切圆半径为r，则S△ABC=S△ABI+S△BCI+S△ACI=1/2×AB×r+1/2×BC×r+1/2×AC×r=1/2×(AB+BC+AC)×r。
∵AB+BC+AC=8+5+7=20，
∴10√3=1/2×20×r，解得r=√3。
答：内切圆⊙I的半径为√3。

1. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,点$D在AC$边上,过$\triangle ABD的内心I作IE\perp BD于点E$。若$BD = 10$,$CD = 4$,则$BE$的长为( )

A.$6$
B.$7$
C.$8$
D.$9$

答案： B

2. 点$P为\odot O$外一点,$PA$,$PB分别切\odot O于点A$,$B$,$\angle APB = 50^{\circ}$,点$C为\odot O$上一点(不与$A$,$B$重合),则$\angle ACB$的度数为______$^{\circ}$。

答案： $65°$或$115°$

3. 如图,$\odot O分别切\triangle ABC的三条边AB$,$BC$,$CA于点D$,$E$,$F$。若$AB = 5$,$AC = 6$,$BC = 7$,则$AD = $______,$BE = $______,$CF = $______。

答案： $2:3:4$

4. 如图,$Rt\triangle ABC的两直角边AC = 4$,$BC = 3$,它的内切圆$\odot O与边AB$,$BC$,$AC分别相切于点D$,$E$,$F$,则$\odot O$的半径长为______。

答案： 1

5. 如图,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$CD切\odot O于点E$,$PA = 6$,$\angle APB = 60^{\circ}$。求：
(1)$\triangle PDC$的周长；
(2)$\odot O$的半径；
(3)$\angle COD$的度数。

答案：
(1)12；
(2)$2\sqrt{3}$；
(3)$60°$