《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

2. 用配方法解一元二次方程 $ 2x^{2}+4x - 5 = 0 $ 时,将它化为 $ (x + a)^{2}= b $ 的形式,则 $ a + b $ 的值为 ( )

A.$ 8 $
B.$ \dfrac{9}{2} $
C.$ \dfrac{7}{2} $
D.$ \dfrac{5}{2} $

答案： B

3. 在横线上填上适当的数,使下列等式成立：
(1) $ x^{2}-2x + $______$ =(x - $______$)^{2} $；
(2) $ x^{2}+6x + $______$ =(x + $______$)^{2} $；
(3) $ x^{2}-9x + $______$ =(x - $______$)^{2} $；
(4) $ x^{2}+5x + $______$ =(x + $______$)^{2} $。

答案：
(1)1,1;
(2)9,3;
(3)$\frac{81}{4}$, $\frac{9}{2}$;
(4)$\frac{25}{4}$, $\frac{5}{2}$

4. 若代数式 $ x^{2}-2x + b $ 可化为 $ (x + a)^{2}+2 $,则 $ a = $______,$ b = $______。

答案： -1; 3

问题 求证：不论 $ x $ 取何值,代数式 $ 2x^{2}-4x + 14 $ 的值恒大于 $ 0 $。
名师指导
可以通过“配方”途径,从 $ 2x^{2}-4x + 14 $ 中“分离”出一个完全平方式,即将其变形为 $ a(x + b)^{2}+c $ 的形式。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
证明：
]

答案： 证明：
$2x^{2}-4x + 14$
$=2(x^{2}-2x) + 14$
$=2(x^{2}-2x + 1 - 1) + 14$
$=2[(x - 1)^{2}-1] + 14$
$=2(x - 1)^{2}-2 + 14$
$=2(x - 1)^{2}+12$
$\because (x - 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore 2(x - 1)^{2} \geq 0$，
$\therefore 2(x - 1)^{2}+12 \geq 12 ＞ 0$。
即不论$x$取何值，代数式$2x^{2}-4x + 14$的值恒大于$0$。

1. 公元 9 世纪,阿拉伯数学家阿尔·花拉子米在解方程 $ x^{2}+2x = 35 $ 时采用的方法是：构造如图所示图形,一方面,正方形的面积为 $ (x + 1)^{2} $；另一方面,它又等于 $ 35 + 1 $,据此可得方程的一个正数解 $ x = 5 $。按照这种构造方法,我们在求方程 $ x^{2}+4x = 5 $ 的一个正数解时,可以构造如下图形 ( )



A.
B.
C.
D.]

答案： B