《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为$a cm^2$的长方形,a的值不可能为( )

A.20
B.40
C.100
D.120

答案： D.

2. 已知△ABC中,∠A= 30°,AB+AC= 7,设AB= x,△ABC的面积为y,则y关于x的函数关系式为____.

答案： $y=-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{7}{4}x(0＜x＜7)$.

3. 如图,利用135°的墙角修建一个梯形的储料场(梯形ABCD),并使∠C= 90°.如果新建墙BCD总长15m,那么怎样修建才能使储料场的面积最大?

答案： 设$CD=x$,则$BC=15-x,AD=15-2x,S_{梯形ABCD}=\frac{1}{2}(30-3x)x=-\frac{3}{2}(x-5)^{2}+\frac{75}{2}$.当$CD=5$时,储料场的面积最大.

4. 【综合与实践】
项目主题：劳动基地扩建方案.
项目背景：学校计划扩建某劳动基地,综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习.
信息获取：
信息1,如图,原劳动基地为矩形,AB的长为25m,BC的长为45m；
信息2,如图,扩建后新劳动基地仍为矩形,BE的最大长度为32m,BG的最大长度为52m.
问题解决：
(1) 设该劳动基地两边增加相同的宽度x m,请直接写出新劳动基地的面积$y(m^2)$与x(m)的函数解析式.
(2) 在(1)的条件下,当新劳动基地的面积为$1500m^2$时,求BG和BE的长.
(3) 当CG= 3AE时,新劳动基地的面积可以为$1800m^2$吗? 请说明理由.

答案： （1）$y=x^{2}+70x+1125$；（2）$BE=30\ m,BG=50\ m$；（3）不可以,理由:假设扩建后的劳动基地的面积可以为$1800\ m^{2}$,设$AE=a\ m$,则$CG=3a\ m$,根据扩建后的劳动基地的面积为$1800\ m^{2}$,可列出关于$a$的一元二次方程,解之可得出$a=5$,将其代入$45+3a$中,可求出$45+3a=60$,由该值大于52,即可得出假设不成立,即当$CG=3AE$时,扩建后的劳动基地的面积不能为$1800\ m^{2}$.

某建筑的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形.制造窗框的材料总长为15m(图中所有线条长度之和),当x等于多少时,窗户通过的光线最多? 此时,窗户的面积S是多少? (结果精确到0.01m)

答案： 由题意可知,$4y+\frac{1}{2}×2\pi x+7x=15$,化简得$y=\frac{15-7x-\pi x}{4}$,$S=\frac{1}{2}\pi x^{2}+2xy=-\frac{7}{2}x^{2}+\frac{15}{2}x$,当$x=\frac{15}{14}\approx1.07$时,$S_{最大值}=\frac{225}{56}\approx4.02$.