《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

问题 如图（1），$AB$是$\odot O$的一条弦，点$C$为$\overset{\frown}{AB}$的中点，$CD$是$\odot O$的直径，过点$C$的直线$l$交$AB$所在直线于$E$，交$\odot O$于$F$。
（1）猜想图中$\angle CEB$与$\angle D$的关系（不必证明）；
（2）操作：将直线$l$绕点$C$旋转（不与$CD$重合），在旋转过程中，点$E$、点$F$的位置也随之变化，请你在两个备用图中分别画出$l$在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，并标上相应的字母；
（3）在你画出的两个图形中，选出其中一个图形证明你的猜想。

名师指导
（1）由已知条件得两个有公共锐角的$Rt\triangle CEG$与$Rt\triangle CDF$；（2）由于是直线$l$交$AB$所在直线于$E$，所以可将点$E$取在$BG$上或$BA$的延长线上或$AB$的延长线上；（3）证明思路与（1）类似。
解题示范（学生在教师指导下，独立完成）
解：

答案： （1）∠CEB=∠D。
（2）如图所示（图形描述：第一个图中直线l交AB延长线于E（A右侧），交⊙O于F（C右下方）；第二个图中直线l交BA延长线于E（B左侧），交⊙O于F（C左下方））。
（3）选第一个图形证明：
连接BC，
∵C是$\overset{\frown}{AB}$的中点，CD是⊙O的直径，
∴CD⊥AB（平分弧的直径垂直平分弦），设垂足为G，则∠CGB=90°，
∴∠CEB+∠GCE=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠BCD+∠D=90°（直角三角形两锐角互余）。
∵∠GCE=∠BCD（公共角），
∴∠CEB=∠D（等角的余角相等）。

1. 如图，已知点$A$，$B$，$C$，$P$都在$\odot O$上，$AC$是$\odot O$的直径，若$\angle ACB = 40^{\circ}$，则$\angle BPC$的度数是（ ）

A.$40^{\circ}$
B.$45^{\circ}$
C.$50^{\circ}$
D.$55^{\circ}$

答案： C

2. 如图，$\odot O$的半径为$3$，弦$MN = 2\sqrt{3}$，$Rt\triangle ABC$的直角顶点$B$在弦$MN$上运动（可与点$M$，$N$重合），点$A$，$C$始终在$\odot O$上，且$AB = 3$。关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点$B$与点$M$，点$N$重合时，$\angle C$的度数是$30^{\circ}$。”
淇淇说：“连接$OA$，当$OA$与弦$MN$平行时，点$B$到$OA$的距离为$2$。”

A.嘉嘉正确，淇淇错误
B.嘉嘉错误，淇淇正确
C.嘉嘉正确，淇淇也正确
D.嘉嘉错误，淇淇也错误

答案： A