《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

11. 把方程 $(2x + 1)(x - 2)= 5 + 3x$ 整理成一般形式后,得______.

答案： $2x^{2}-6x-7=0$

12. 已知方程 $3x^{2}-4x - 4 = 0$ 的两个实数根分别为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}= $______.

答案： $\frac{4}{3}$

13. 若 $x = 1$ 是一元二次方程 $ax^{2}+bx - 2 = 0(a,b$ 是常数,且 $a \neq 0)$ 的根,则 $2a + 2b= $______.

答案： 4

14. 若 $a + b + c = 0$ 且 $a \neq 0$,则一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 必有一个根是______.

答案： $x=1$

15. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+bx + b - 1 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $b= $______.

答案： 2

16. 已知 $3$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(m + 1)x + 2m = 0$ 的一个实数根,并且这个方程的两个实数根恰好是等腰 $\triangle ABC$ 的两条边长,则 $\triangle ABC$ 的周长为______.

答案： 10或11

17. 已知 $x^{2}+3xy - 4y^{2}= 0(y \neq 0)$,则 $\frac{x - y}{x + y}= $______.

答案： 0或$\frac{5}{3}$

18. 若一元二次方程 $x^{2}-2x - m = 0$ 无实数根,则一次函数 $y= (m + 1)x + m - 1$ 的图象不经过第______象限.

答案： 一

19. (12 分)解下列方程:
(1) $x^{2}-2x = 0$;
(2) $(x + 2)(x - 5)= 8$;
(3) $x^{2}-3x = 1$;
(4) $25(2x - 5)^{2}-9(x + 4)^{2}= 0$.

答案： （1）$x_{1}=0$,$x_{2}=2$；（2）$x_{1}=6$,$x_{2}=-3$；（3）$x_{1}=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$,$x_{2}=\frac{3-\sqrt{13}}{2}$；（4）$x_{1}=1$,$x_{2}=\frac{37}{7}$

20. (6 分)关于 $x$ 的方程 $(a^{2}+1)x^{2}-2(a + b)x + b^{2}+1 = 0$.
(1) 若 $b = 2$,且 $2$ 是此方程的根,求 $a$ 的值;
(2) 若此方程有实数根,当 $-3 \lt a \lt -1$ 时,求 $b$ 的取值范围.

答案： （1）把$b=2$,$x=2$代入原方程，得$a=\frac{1}{2}$.（2）
∵方程有实数根.
∴$\Delta=4(a+b)^{2}-4(a^{2}+1)(b^{2}+1)\geq0$,$a^{2}b^{2}-2ab+1\leq0$,$(ab-1)^{2}\leq0$,又$(ab-1)^{2}\geq0$,
∴$(ab-1)^{2}=0$,$ab=1$,$a=\frac{1}{b}$.
∵$-3\lt a\lt-1$,
∴$-3\lt\frac{1}{b}\lt-1$,
∴$-1\lt b\lt-\frac{1}{3}$

21. (6 分)我们知道:对于任何实数 $x$,
① 因为 $x^{2} \geqslant 0$,所以 $x^{2}+1 \gt 0$;
② 因为 $(x-\frac{1}{3})^{2} \geqslant 0$,所以 $(x-\frac{1}{3})^{2}+\frac{1}{2} \gt 0$. 模仿上述方法求证:
(1) 对于任何实数 $x$,均有 $2x^{2}+4x + 3 \gt 0$;
(2) 对于任何实数 $x$,多项式 $3x^{2}-5x - 1$ 的值总大于 $2x^{2}-4x - 2$ 的值.

答案： （1）$2x^{2}+4x+3=2(x+1)^{2}+1\gt0$；（2）$3x^{2}-5x-1-(2x^{2}-4x-2)=x^{2}-x+1=(x-\frac{1}{2})^{2}+\frac{3}{4}\gt0$