《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

2. 已知抛物线：① $ y = -x^{2} $；② $ y = \frac{5}{3}x^{2} $；③ $ y = 13x^{2} $；④ $ y = -6x^{2} $；⑤ $ y = -\frac{7}{9}x^{2} $；⑥ $ y = 4x^{2} $。
(1)其中开口向上的有______(填序号)；
(2)其中开口向下且开口最大的是______(填序号)；
(3)当自变量由小到大变化时,函数值先逐渐变大,然后逐渐变小的有______(填序号)。

答案： （1）②③⑥；（2）⑤；（3）①④⑤.

问题 已知抛物线 $ y = ax^{2} $ 经过点 $ A(2, -8) $。
(1)求此抛物线的函数解析式；
(2)判断点 $ B(-2, -4) $ 是否在此抛物线上；
(3)求出此抛物线上纵坐标为 $ -6 $ 的点的坐标。
名师指导
抛物线经过某点,或某点在二次函数的图象上,就是某点的坐标满足解析式；反之,某点的坐标满足解析式,则此抛物线必过此点。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
(1) 将点 $A(2, -8)$ 代入 $y = ax^2$，得：
$-8 = a \cdot 2^2$，
解得 $a = -2$，
所以抛物线的函数解析式为 $y = -2x^2$。
(2) 将 $x = -2$ 代入 $y = -2x^2$，得：
$y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$，
因为点 $B(-2, -4)$ 的纵坐标为 $-4$，与计算结果 $-8$ 不相等，
所以点 $B(-2, -4)$ 不在此抛物线上。
(3) 将 $y = -6$ 代入 $y = -2x^2$，得：
$-6 = -2x^2$，
即 $x^2 = 3$，
解得 $x = \pm \sqrt{3}$，
所以此抛物线上纵坐标为 $-6$ 的点的坐标为 $(\sqrt{3}, -6)$ 和 $(-\sqrt{3}, -6)$。

1. 对于抛物线 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $,下列说法正确的是( )

A.$ a $ 的值越大开口越大
B.$ a $ 的值越大开口越小
C.$ |a| $ 的值越大开口越大
D.$ |a| $ 的值越大开口越小

答案： D

2. 若点 $ P(1, a) $,$ Q(-1, b) $ 都在抛物线 $ y = -4x^{2} $ 上,则线段 $ PQ $ 的长为( )

A.$ a + b $
B.$ a - b $
C.4
D.2

答案： D

3. 图中分别与抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^{2} $,$ y = 2x^{2} $,$ y = -\frac{1}{3}x^{2} $,$ y = -2x^{2} $ 的图象对应的是( )

A.①②④③
B.②①④③
C.①②③④
D.②①③④
]

答案： B

4. 已知函数 $ y = -\frac{3}{2}x^{2} $,不画图象,回答下列问题。
(1)开口方向为______；
(2)对称轴为______；
(3)顶点坐标为______；
(4)当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而______；
(5)当 $ x $______时,$ y = 0 $；
(6)当 $ x $______时,函数 $ y $ 的最______值是______。

答案： （1）向下；（2）y轴（或直线 $ x=0 $）；（3）$ (0,0) $；（4）减小；（5）$ =0 $；（6）$ =0 $;大;0.