《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

16. (8 分)如图,AB 为⊙O 的直径,点 D 在⊙O 外,∠BAD 的平分线与⊙O 交于点 C,连接 BC,CD,且∠D = 90°。
(1)求证：CD 是⊙O 的切线；
(2)若∠DCA = 60°,BC = 3,求$\overset{\frown}{BC}$的长。
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答案： （1）证明：连接$OC$，$\because$ $AC$是$\angle BAD$的平分线，$\therefore$ $\angle CAD=\angle BAC$. 又$\because$ $OA=OC$，$\therefore$ $\angle OAC=\angle OCA$，$\therefore$ $\angle OCA=\angle CAD$，$\therefore$ $OC// AD$，$\therefore$ $\angle OCD+\angle D=180^{\circ}$.$\because$ $\angle D=90^{\circ}$，$\therefore$ $\angle OCD=90^{\circ}$，$\therefore$ $CD$是$\odot O$的切线. （2）解：$\because$ $\angle ACD=60^{\circ}$，$\therefore$ $\angle OCA=30^{\circ}$.$\because$ $AB$为$\odot O$的直径，$\therefore$ $\angle ACB=90^{\circ}$，$\therefore$ $\angle OCB=60^{\circ}$.$\because$ $OC=OB$，$\therefore$ $\triangle OCB$是等边三角形，$\therefore$ $OB=OC=BC=3$，$\angle COB=60^{\circ}$，$\therefore$ $\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{60\pi×3}{180}=\pi$.

17. (8 分)如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 DC 于点 F,点 P 在 AB 的延长线上,CP 与⊙O 相切于点 C。
(1)求证：∠PCB = ∠PAD；
(2)若⊙O 的直径为 4,弦 DC 平分半径 OB,求图中阴影部分的面积。
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答案： （1）提示：首先可证得$\angle OBC=\angle OCB$，由圆周角定理得：$\angle ADF=\angle OBC$，可得$\angle OCB=\angle ADF$，再根据切线的性质，可得$\angle PCB+\angle OCB=90^{\circ}$，根据垂直的定义可得$\angle PAD+\angle ADF=90^{\circ}$，据此即可证得；（2）首先由弦$DC$平分半径$OB$，$OB=OC$，可得$OF=\frac{1}{2}OD$，$\angle ODF=30^{\circ}$，$\angle DOF=60^{\circ}$，再根据$AB\perp DC$，可得$DF=FC$，即可证得$S_{\triangle CFB}=S_{\triangle CFO}=S_{\triangle DFO}$，最后由$S_{阴影部分}=S_{扇形OCD}$即可求得.

18. (8 分)如图,∠AOB = 60°,半径为 3 cm 的⊙P 沿边 OA 从右向左平行移动,与边 OA 相切的切点记为点 C。
(1)⊙P 移动到与边 OB 相切时,切点为 D,求劣弧$\overset{\frown}{CD}$的长；
(2)⊙P 移动到与边 OB 相交于点 E,F,若 EF = $4\sqrt{2}$ cm,求 OC 的长。
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答案： （1）$2\pi\ cm$；（2）$\frac{5\sqrt{3}}{3}\ cm$或$\frac{\sqrt{3}}{3}\ cm$.