《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

4. 下列二次函数：
① $y = -\frac{1}{3}x^2 + 1$；② $y = \frac{1}{2}(x + 1)^2 - 2$；③ $y = -\frac{1}{2}(x + 1)^2 + 2$；④ $y = \frac{1}{2}x^2$；
⑤ $y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$；⑥ $y = \frac{1}{2}(x - 1)^2$。
(1) 二次函数的图象的对称轴为直线$x = -1$的是____(只填序号)；
(2) 二次函数有最大值的是____ (只填序号)；
(3) 二次函数的图象中关于$x$轴对称的是____(只填序号)。

答案： （1）②③；（2）①③⑤；（3）②和③，⑤和⑥。

5. 将抛物线$y = 2x^2沿x$轴向____平移____个单位长度,再沿$y$轴向____平移____个单位长度,可以得到抛物线$y = 2(x + 2)^2 - 3$。

答案： 左；2；下；3.

6. 有一条抛物线和$y = -2x^2$形状相同,开口方向相反,且顶点为$(1,-3)$,则它的函数解析式为____。

答案： y = 2(x - 1)² - 3.

问题 把抛物线$y = x^2 + bx + c$先向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2$,求$b$,$c$的值。
名师指导
把抛物线$y = x^2 + bx + c$先向上平移2个单位长度,再向左平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2$,也就意味着把抛物线$y = x^2$向下平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到抛物线$y = x^2 + bx + c$。这里要注意用逆向思维来思考问题。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案：
$b = -8$，$c = 14$

1. 二次函数$y = x^2 - 2x + 4化为y = a(x - h)^2 + k$的形式,下列正确的是 ( )

A.$y = (x - 1)^2 + 2$
B.$y = (x - 1)^2 + 3$
C.$y = (x - 2)^2 + 2$
D.$y = (x - 2)^2 + 4$

答案： B.

2. 设函数$y = a(x - h)^2 + k(a,h,k$是实数,$a \neq 0)$,当$x = 1$时,$y = 1$；当$x = 8$时,$y = 8$。以下说法正确的是 ( )

A.若$h = 4$,则$a ＜ 0$
B.若$h = 5$,则$a ＞ 0$
C.若$h = 6$,则$a ＜ 0$
D.若$h = 7$,则$a ＞ 0$

答案： C.

3. 一次函数$y = ax + b(a \neq 0)与二次函数y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 ( )

A.
B.
C.
D.

答案： C.