《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

2. 根据下列条件求二次函数的解析式：
(1)抛物线过 $ ( - 1, - 22 ) $, $ ( 0, - 8 ) $, $ ( 2, 8 ) $ 三点；
(2)抛物线过 $ ( - 1, 0 ) $, $ ( 3, 0 ) $, $ ( 1, - 5 ) $ 三点；
(3)当 $ x = 2 $ 时, $ y _ { \text { 最小值 } } = - 3 $,且图象过点 $ ( 0, 5 ) $.

答案：
(1)设二次函数解析式为 $ y = ax^{2} + bx + c $, 根据题意,得 $ \begin{cases} a - b + c = -22, \\ c = -8, \\ 4a + 2b + c = 8, \end{cases} $ 解得 $ \begin{cases} a = -2, \\ b = 12, \\ c = -8. \end{cases} $ $ \therefore $ 二次函数解析式为 $ y = -2x^{2} + 12x - 8 $.
(2)设二次函数解析式为 $ y = a(x - 3)(x + 1) $. $ \because $ 抛物线过点(1,-5), $ \therefore -5 = a(1 - 3)(1 + 1) $,解得 $ a = \frac{5}{4} $. $ \therefore $ 二次函数解析式为 $ y = \frac{5}{4}(x - 3)(x + 1) $.
(3)由题意知顶点坐标为(2,-3),设二次函数解析式为 $ y = a(x - 2)^{2} - 3 $. $ \because $ 抛物线过点(0,5), $ \therefore 5 = a(0 - 2)^{2} - 3 $,解得 $ a = 2 $. $ \therefore $ 二次函数解析式为 $ y = 2(x - 2)^{2} - 3 $.

3. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } + 2 ( m - 1 ) x + m ^ { 2 } $.
(1)若它的图象位于 $ x $ 轴的上方,试确定 $ m $ 的取值范围；
(2)若它的图象经过原点 $ O $,与 $ x $ 轴的另一交点为 $ A $,顶点为 $ B $,请你求出 $ \triangle A O B $ 的面积.

答案：
(1) $ \because $ 二次函数 $ y = x^{2} + 2(m - 1)x + m^{2} $ 的图象位于x轴的上方, $ \therefore $ 图象与x轴没有交点,于是有 $ \Delta = 4(m - 1)^{2} - 4m^{2} ＜ 0 $,解得 $ m ＞ \frac{1}{2} $.
(2) $ \because $ 图象经过原点(0,0), $ \therefore m = 0 $. $ \therefore $ 此时二次函数的解析式为 $ y = x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1 $. $ \therefore $ 顶点为B(1,-1). 又令 $ y = 0 $,则 $ x^{2} - 2x = 0 $,$ x_{1} = 0 $,$ x_{2} = 2 $,故A点坐标为(2,0), $ \therefore S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} × 2 × 1 = 1 $.

4. 利达经销店为某工厂代销一种建筑材料(这里的代销是指厂家先免费提供货源,待货物售出后再进行结算,未售出的由厂家负责处理). 当每吨售价为 $ 260 $ 元时,月销售量为 $ 45 $ t. 该经销店为提高经营利润,准备采取降价的方式进行促销. 经市场调查发现：当每吨售价每下降 $ 10 $ 元时,月销售量就会增加 $ 7.5 $ t. 综合考虑各种因素,每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其他费用 $ 100 $ 元. 设每吨材料售价为 $ x $(元),该经销店的月利润为 $ y $(元).
(1)当每吨售价是 $ 240 $ 元时,计算此时的月销售量.
(2)求出 $ y $ 与 $ x $ 的函数关系式(不要求写出 $ x $ 的取值范围).
(3)该经销店要获得最大月利润,售价应定为每吨多少元？
(4)小静说：“当月利润最大时,月销售额也最大.”你认为对吗？请说明理由.

答案：
(1) $ 45 + \frac{260 - 240}{10} × 7.5 = 60 $(t).
(2) $ y = (x - 100)\left( 45 + \frac{260 - x}{10} × 7.5 \right) $,化简,得 $ y = -\frac{3}{4}x^{2} + 315x - 24000 $.
(3) $ y = -\frac{3}{4}x^{2} + 315x - 24000 = -\frac{3}{4}(x - 210)^{2} + 9075 $. $ \therefore $ 利达经销店要获得最大月利润,材料的售价应定为每吨210元.
(4)小静说的不对. 方法一:当月利润最大时,x为210元,而对于月销售额 $ W = x\left( 45 + \frac{260 - x}{10} × 7.5 \right) = -\frac{3}{4}(x - 160)^{2} + 19200 $ 来说,当x为160元时,月销售额W最大. $ \therefore $ 当x为210元时,月销售额W不是最大. $ \therefore $ 小静说的不对. 方法二:当月利润最大时,x为210元,此时,月销售额为17325元;而当x为200元时,月销售额为18000元. $ \because 17325 ＜ 18000 $, $ \therefore $ 当月利润最大时,月销售额W不是最大. $ \therefore $ 小静说的不对.