《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

问题 如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,点P为△ABC内一点,且PA = 3,PB = 1,PC = 2,求∠BPC的度数.
名师指导

要充分利用题目中的信息,将PA = 3,PB = 1,PC = 2联系在一起. 因此,将△APC以点C为旋转中心,逆时针旋转90°,这样点A与点B重合,点P的对应点是P',CP' = CP = 2,BP' = AP = 3,连接PP',从而将∠BPC分成了∠P'PC和∠P'PB这两个可解的角.
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：

答案： 将△APC绕点C逆时针旋转90°，得△BP'C，连接PP'。
∵旋转性质，
∴CP'=CP=2，BP'=AP=3，∠PCP'=90°，∠APC=∠BP'C。
△PCP'为等腰直角三角形，
∴∠CPP'=45°，PP'=√(PC²+P'C²)=√(2²+2²)=2√2。
在△PP'B中，PB=1，PP'=2√2，BP'=3，
∵1²+(2√2)²=1+8=9=3²，即PB²+PP'²=BP'²，
∴△PP'B为直角三角形，∠P'PB=90°。
∠BPC=∠CPP'+∠P'PB=45°+90°=135°。
135°

1. 如图,在△ABC中,AB = AC,点P在边BC上. △ACQ由△ABP旋转得到,下列说法错误的是( )

A.旋转中心是点A
B.BC = AQ
C.∠BAC = ∠PAQ
D.AC平分∠BCQ

答案： B.

2. 如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于( )

A.75°
B.60°
C.45°
D.30°

答案： C.

3. 在数学拓展课上,有两个全等的含45°角的直角三角板ADE,ABC重叠在一起. 李老师将三角板ADE绕点A顺时针旋转(保持∠BAE ＜ 90°),延长线段DE,与线段CB的延长线交于点F(如图所示),随着∠BAE的增大,CF - EF的值( )

A.一直变小
B.保持不变
C.先变小,后变大
D.一直变大

答案： B.