《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 下列对于二次函数$y = x^2 + 1$图象的描述中,正确的是 ( )

A.开口向下
B.对称轴是$y$轴
C.图象有最高点
D.在对称轴左侧的图象从左往右呈上升趋势

答案： B.

2. 抛物线$y = 2x^2 + 1上有两点A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$。嘉嘉说：“若$0\leq x_1 ＜ x_2$,则$y_1 ＜ y_2$。”琪琪说：“若$x_2 ＜ x_1\leq 0$,则$y_1 ＜ y_2$。”对于他们的说法,正确的是( )

A.嘉嘉正确,琪琪错误
B.琪琪正确,嘉嘉错误
C.他们说的都正确
D.他们说的都不正确

答案： C.

3. 函数$y = -3x^2 + 2$的图象的开口方向____,对称轴是____,顶点坐标为____。

答案： 向下；y轴；(0,2).

4. 把抛物线$y = -2x^2$向上平移1个单位长度,得到抛物线____；把抛物线$y = 2x^2$向下平移3个单位长度,得到抛物线____。

答案： y = -2x² + 1；y = 2x² - 3.

5. 如图是二次函数$y_1 = 3x^2 - \frac{1}{2}$的图象,根据图象回答下列问题：
(1) 二次函数$y = x^2的图象与y_1$的图象有什么相同和不同(各写出两条)；
(2) 若有一个二次函数的图象与$y_1$的图象形状相同,且不经过第三、四象限,写出一个符合条件的二次函数的解析式。
]

答案： （1）相同点：① 开口向上；② 对称轴都是y轴。不同点：① 二次函数y = x²的图象的顶点是(0,0)，二次函数y₁ = 3x² - $\frac{1}{2}$的图象的顶点是(0,-$\frac{1}{2}$)；② 开口大小不同，二次函数y = x²的图象的开口大于二次函数y₁ = 3x² - $\frac{1}{2}$的图象的开口。
（2）y = 3x²（答案不唯一）。

问题 在同一直角坐标系中,画出函数$y = 2x^2与y = 2x^2 + 2$的图象,指出这两个图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。当自变量$x$取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上,相应的两个点之间的位置又有什么关系？
名师指导
用描点法在平面直角坐标系中作图,注意连线时要光滑。
解题示范 (学生在教师指导下,独立完成)
解：列表：
| $x$ | …$$ | | | | | | | …$$ |
| $y = 2x^2$ | …$$ | | | | | | | …$$ |
| $y = 2x^2 + 2$ | …$$ | | | | | | | …$$ |

描点、连线：
]

答案： 列表：
| $ x $ | … | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | … |
|--------------|---|----|----|---|---|---|---|
| $ y=2x^2 $ | … | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | … |
| $ y=2x^2+2 $| … | 10 | 4 | 2 | 4 | 10| … |
描点、连线：
（注：在坐标系中描出点$(-2,8),(-1,2),(0,0),(1,2),(2,8)$并连线得$y=2x^2$；描出点$(-2,10),(-1,4),(0,2),(1,4),(2,10)$并连线得$y=2x^2+2$，图象均为开口向上的抛物线。）
图象性质：
1. 开口方向：两个图象均开口向上。
2. 对称轴：均为直线$x=0$（y轴）。
3. 顶点坐标：
$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$；
$y=2x^2+2$的顶点坐标为$(0,2)$。
函数值与图象位置关系：
函数值关系：当自变量$x$取同一数值时，$y=2x^2+2$的函数值比$y=2x^2$的函数值大2。
图象位置关系：$y=2x^2+2$的图象可由$y=2x^2$的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到。