《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

2. 下列 $3×3$ 网格图都是由 $9$ 个相同的小正方形组成的,每个网格图中有 $3$ 个小正方形已涂上阴影,请在余下的 $6$ 个空白小正方形中,按下列要求涂上阴影：
(1)选取 $1$ 个涂上阴影,使 $4$ 个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形。
(2)选取 $1$ 个涂上阴影,使 $4$ 个阴影小正方形组成一个中心对称图形,但不是轴对称图形。
(3)选取 $2$ 个涂上阴影,使 $5$ 个阴影小正方形组成一个轴对称图形。
(请将三个小题依次作答在图(1)、图(2)、图(3)中,均只需画出符合条件的一

种

情形)

答案：
(1)
在图
(1)中，选择最左侧一列的中间小正方形涂上阴影。
(2)
在图
(2)中，选择右上角的小正方形涂上阴影。
(3)
在图
(3)中，选择最左侧一列的中间小正方形和最右侧一列的中间小正方形涂上阴影。

3. 图(1)、图(2)均为 $7×6$ 的正方形网格,点 $A$,$B$,$C$ 在格点上。
(1)在图(1)中确定格点 $D$,并画出以 $A$,$B$,$C$,$D$ 为顶点的四边形,使其为轴对称图形。(画一个即可)
(2)在图(2)中确定格点 $E$,并画出以 $A$,$B$,$C$,$E$ 为顶点的四边形,使其为中心对称图形。(画一个即可)

答案：
(1) 如图
(1)，取格点D（位置为A关于BC垂直平分线的对称点），连接A、B、C、D，四边形ABCD为轴对称图形。
(2) 如图
(2)，取格点E（位置为使得ABCE为平行四边形的格点，如E为A沿BC方向平移所得），连接A、B、C、E，四边形ABCE为中心对称图形。
（注：此处需根据实际网格点位置画图，上述文字描述对应标准网格中常见对称点位置，具体以图形为准。）

4. 如图,在 $\triangle ABC$ 中,点 $D$ 是 $BC$ 的中点,点 $P$ 是 $AB$ 边上的一点,点 $Q$ 是 $AC$ 边上的一点,且 $PD\perp DQ$。求证：$BP + CQ＞ PQ$。

答案： 提示:作△CQD关于点 D 中心对称的△BED,连接 PE,DE=DQ,PD 是 EQ 的垂直平分线,△PQE是等腰三角形,PQ=PE,QC=EB,BP+EB＞PE.

有一块长 $4m$,宽 $3m$ 的园地。现要在园地上开辟一个花坛,使花坛面积是原园地面积的一半,且使设计图案既是轴对称图形,又是中心对称图形,应如何设计？(设计的方案至少三个)

答案：
设计方案1:如图
(1),$S_{阴}=\frac{1}{2}S_{长方形}$,则$AE=BF=\frac{1}{4}AB=0.75(m)$,把阴影部分设计为花坛即可.

设计方案2:如图
(2),取 AB,BC,DC,AD 的中点 E,F,G,H,把菱形 EFGH 设计为花坛即可.

设计方案3:如图
(3),中间为一个圆,四个角为$\frac{1}{4}$个圆,设计两圆半径相等,则$2\pi r^{2}=\frac{1}{2}×4×3=6(m^{2})$,$\therefore r=\sqrt{\frac{3}{\pi}}\approx0.98(m)$,圆的半径约为 0.98 m.