《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

5. 与抛物线 $ y = 8x^{2} $ 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式是______。

答案： $ y=-8x^{2} $

6. 给出下列函数：① $ y = 2x $；② $ y = -2x + 1 $；③ $ y = \frac{2}{x}(x ＞ 0) $；④ $ y = x^{2}(x ＜ -1) $。其中,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小的函数有______。(将序号填在横线上)

答案： ②③④

7. 如图,已知抛物线 $ y = 2x^{2} $,正方形 $ ABCD $ 的顶点 $ A $,$ B $ 在抛物线上,顶点 $ C $,$ D $ 在 $ x $ 轴上,求点 $ A $ 的坐标。
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答案： $ A(1,2) $

8. 已知二次函数 $ y = (a + 5)x^{2} $ 的图象经过第四象限内的某一点。
(1)求 $ a $ 的取值范围；
(2)若图象经过点 $ (-1, -4) $,求二次函数的解析式；
(3)写出此二次函数的性质。

答案： （1）$ a＜-5 $；（2）$ y=-4x^{2} $；（3）略.

9. 如图,已知点 $ A(-2, 4) $ 在抛物线 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 上,过点 $ A $ 且平行于 $ x $ 轴的直线交抛物线于点 $ B $。
(1)求 $ a $ 的值和点 $ B $ 的坐标；
(2)若点 $ P $ 是抛物线上一点,当以点 $ A $,$ B $,$ P $ 为顶点构成的 $ \triangle ABP $ 的面积为 $ 2 $ 时,求点 $ P $ 的坐标。
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答案： （1）$ a=1,B(2,4) $；（2）$ (-\sqrt{3},3) $或$ (\sqrt{3},3) $或$ (-\sqrt{5},5) $或$ (\sqrt{5},5) $

如图,过点 $ F(0, -1) $ 的直线 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 与抛物线 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} $ 交于点 $ A(x_{1}, y_{1}) $,$ B(x_{2}, y_{2}) $。
(1)求 $ b $ 的值；
(2)求 $ x_{1}x_{2} $ 的值；
(3)若线段 $ AB $ 的垂直平分线交 $ y $ 轴于点 $ N(0, n) $,求 $ n $ 的取值范围。
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答案： （1）将点 $ F(0,-1) $代入 $ y=kx+b $,得 $ b=-1 $.（2）联立 $ \left\{\begin{array}{l} y=kx-1,\\ y=-\frac{1}{4}x^{2},\end{array}\right. $ 消去 $ y $,得 $ x^{2}+4kx-4=0 $,$ \therefore x_{1}x_{2}=-4 $. （3）由（2）得，$ x_{1}+x_{2}=-4k $,$ \therefore x_{C}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2}=-2k $,$ y_{C}=-2k\cdot k-1=-2k^{2}-1 $.$ \because CN\perp AB $,$ \therefore k_{CN}=-\frac{1}{k} $,$ \therefore y_{CN}=-\frac{1}{k}(x+2k)-2k^{2}-1 $.当 $ x=0 $时,$ n=-2-2k^{2}-1=-2k^{2}-3 $.$ \because k\neq 0 $,$ \therefore n＜-3 $.