《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

6. 下列命题：①各边相等的多边形是正多边形；②正多边形是中心对称图形；③正六边形的外接圆半径与边长相等；④正 $n$ 边形共有 $n$ 条对称轴.其中真命题有.(填序号)

答案： ③④.

7. 若一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的 $\frac{1}{3}$,则这个正多边形是.

答案： 正八边形.

8. 如图,在正五边形 $ABCDE$ 中,$AC$ 与 $BE$ 相交于点 $F$,则 $\angle AFE$ 的度数为.

答案： $72°$.

9. 2022 年北京冬奥会开幕式和闭幕式中,一片“雪花”的故事展现了“世界大同、天下一家”的主题,让世界观众感受了中国人的浪漫.如图,将“雪花”图案(边长为 $4$ 的正六边形 $ABCDEF$)放在平面直角坐标系中,若 $AB$ 与 $x$ 轴垂直,顶点 $A$ 的坐标为 $(2,-3)$,则顶点 $C$ 的坐标为.

答案： $(2-2\sqrt{3},3)$

10. 如图,小华从一个圆形场地点 $A$ 出发,沿着与半径 $OA$ 夹角为 $\alpha$ 的方向行走,走到场边缘 $B$ 后,再沿着与半径 $OB$ 夹角为 $\alpha$ 的方向折向行走,按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于 $\overgroup{AB}$ 上,此时 $\angle AOE = 56^{\circ}$,则 $\alpha$ 的度数是 $^{\circ}$

答案： 52.

11. 已知一个正三角形和一个正六边形的面积相等,则这两个正多边形的边长的比是.

答案： $\sqrt{6}:1$.

如图,在正三角形 $ABC$ 中,$E$,$F$,$G$,$H$,$K$,$L$ 分别是各边的三等分点.
(1)求证：六边形 $EFGHKL$ 为正六边形；
(2)若 $AB = 3\mathrm{cm}$,求正六边形 $EFGHKL$ 的面积.

答案： （1）提示:证六边形EFGHKL的6个内角相等，6条边相等；（2）$\frac{3\sqrt{3}}{2}\ cm^2$.