《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

3. 如图，已知四边形$ADBC$是$\odot O$的内接四边形，$AB$是直径，$AB = 10 cm$，$BC = 8 cm$，$CD$平分$\angle ACB$。
（1）求$AC$与$BD$的长；
（2）求四边形$ADBC$的面积。

答案： （1）AC=6 cm，BD=$5\sqrt{2}$ cm；（2）49 cm²

4. 如图，$AB$是$\odot O$的一条弦，$OD \perp AB$，垂足为$C$，交$\odot O$于点$D$，点$E$在$\odot O$上。
（1）若$\angle AOD = 52^{\circ}$，求$\angle DEB$的度数；
（2）若$OC = 3$，$OA = 5$，求$AB$的长。

答案： （1）26°；（2）8

5. 如图，$AB$是$\odot O$的直径，$D$，$E$为$\odot O$上位于$AB$异侧的两点，连接$BD$并延长至点$C$，使得$CD = BD$，连接$AC$交$\odot O$于点$F$，连接$AE$，$DE$，

答案： （1）证明：如图，连接AD.
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即AD⊥BC.
∵ CD=BD，
∴ AD垂直平分BC，
∴ AB=AC，
∴ ∠B=∠C. 又
∵ ∠B=∠E，
∴ ∠E=∠C.（2）解：
∵ 四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴ ∠AFD=180°-∠E. 又
∵ ∠AFD=180°-∠CFD，
∴ ∠CFD=∠E=55°. 又
∵ ∠C=∠E=55°，
∴ ∠BDF=∠C+∠CFD=110°.

如图，$\triangle ABC$是$\odot O$的内接等边三角形，$P$是$\overset{\frown}{BC}$上一点。探索$PA$与$PB + PC$之间的数量关系，并说明理由。

答案： 提示：PA=PB+PC. 理由：在PA上取一点D，使PD=PC，连接CD，则△PCD是等边三角形. 再证△PBC≌△DAC即可.