《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

1. 若函数 $ y = ( 2 k - 1 ) x ^ { 2 } + x + k ^ { 2 } - 2 $ 是二次函数,则 $ k $ 的取值范围是____.

答案： $ k \neq \frac{1}{2} $

2. 已知二次函数：(1) $ y _ { 1 } = - 3 x ^ { 2 } $；(2) $ y _ { 2 } = - \frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } $；(3) $ y _ { 3 } = \frac { 3 } { 2 } x ^ { 2 } $,它们的图象开口由小到大的顺序是____.

答案：
(1)
(3)
(2)

3. 由抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } $ 向____平移____个单位长度可得到抛物线 $ y = 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } $；函数 $ y = x ^ { 2 } + 4 x - 5 $ 的图象可由函数 $ y = x ^ { 2 } $ 的图象向____平移____个单位长度,再向____平移____个单位长度得到.

答案： 左;1;左;2;下;9

4. 抛物线 $ y = x ^ { 2 } - 3 x + 2 $ 的开口____,顶点坐标为____,对称轴为直线____.

答案： 向上;$ \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{4} \right) $;$ x = \frac{3}{2} $

5. 若方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $ 的两根为 $ x _ { 1 } = - 3 $, $ x _ { 2 } = 1 $,则抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $ 的对称轴是直线____.

答案： $ x = -1 $

6. 已知点 $ A ( 4, y _ { 1 } ) $, $ B ( \sqrt { 2 }, y _ { 2 } ) $, $ C ( - 2, y _ { 3 } ) $ 都在二次函数 $ y = ( x - 2 ) ^ { 2 } - 1 $ 的图象上,则 $ y _ { 1 } $, $ y _ { 2 } $, $ y _ { 3 } $ 的大小关系是____.

答案： $ y_{2} ＜ y_{1} ＜ y_{3} $

7. 已知抛物线的顶点坐标为 $ ( - 3, 2 ) $,且过点 $ ( - 1, - 2 ) $,则二次函数的解析式为____.

答案： $ y = -x^{2} - 6x - 7 $

8. 以 $ x $ 为自变量的二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 ( b - 2 ) x + b ^ { 2 } - 1 $ 的图象不经过第三象限,则 $ b $ 的取值范围是____.

答案： $ b \geqslant \frac{5}{4} $

9. 与抛物线 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $ 关于 $ x $ 轴对称的抛物线的解析式为____；关于 $ y $ 轴对称的抛物线的解析式为____.

答案： $ y = x^{2} - 2x - 3 $;$ y = -x^{2} - 2x + 3 $

10. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 1 $ 的图象在 $ x $ 轴上截得的线段长为____.

答案： $ 2\sqrt{2} $

11. 若二次函数 $ y = - ( x - a ) ^ { 2 } + 1 $,当 $ x \geq 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则 $ a $ 的取值范围是____.

答案： $ a \leqslant 1 $

12. 已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c $( $ a \neq 0 $)的图象如图所示,则下列结论中正确的是____.
(1) $ a ＞ 0 $；
(2) $ c ＜ 0 $；
(3) $ 3 $ 是方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 $( $ a \neq 0 $)的一个根；
(4)当 $ x ＜ 1 $ 时, $ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.

答案：
(3)

1. 求抛物线 $ y = 2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 $ 的对称轴和最大值(或最小值).

答案： 解法一: $ \because y = 2x^{2} + 4x + 1 = 2\left( x^{2} + 2x + \frac{1}{2} \right) = 2\left( x^{2} + 2x + 1 - 1 + \frac{1}{2} \right) = 2(x + 1)^{2} - 1 $. $ \therefore $ 对称轴为直线 $ x = -1 $. $ \because a = 2 ＞ 0 $, $ \therefore y $ 有最小值,为 -1. 解法二: $ \because -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 × 2} = -1 $, $ \frac{4ac - b^{2}}{4a} = \frac{4 × 2 × 1 - 16}{4 × 2} = -1 $. $ \therefore $ 对称轴为直线 $ x = -1 $. $ \because a = 2 ＞ 0 $, $ \therefore y $ 有最小值,为 -1.