《2025年新课程自主学习与测评九年级数学上册人教版》

20. (8 分)如图,抛物线 $ y = ax^{2} - 5x + 4a $ 与 $ x $ 轴相交于点 $ A $,$ B $,且过点 $ C(5, 4) $。
(1)求 $ a $ 的值及抛物线顶点 $ P $ 的坐标；
(2)请你设计一种平移的方法,使平移后抛物线的顶点落在第二象限内,并写出平移后抛物线的关系式。

答案： （1）$ a=1 $,顶点$ P\left( \frac{5}{2},-\frac{9}{4} \right) $;
(2)答案不唯一,合理正确即可.如向左平移3个单位长度,再向上平移4个单位长度得到,等等.

21. (8 分)如图,矩形 $ ABCD $ 的两边长 $ AB = 18 \, cm $,$ AD = 4 \, cm $,点 $ P $,$ Q $ 分别从 $ A $,$ B $ 同时出发,$ P $ 在边 $ AB $ 上沿 $ AB $ 方向以 $ 2 \, cm/s $ 的速度匀速运动,$ Q $ 在边 $ BC $ 上沿 $ BC $ 方向以 $ 1 \, cm/s $ 的速度匀速运动。设运动时间为 $ x(s) $,$ \triangle PBQ $ 的面积为 $ y(cm^{2}) $。
(1)求 $ y $ 关于 $ x $ 的函数解析式,并写出 $ x $ 的取值范围；
(2)求 $ \triangle PBQ $ 的面积的最大值。

答案： （1）$ y=-x^{2}+9x(0＜x\leqslant4) $;（2）$ \triangle PBQ $的最大面积是$ 20\ cm^{2} $

22. (8 分)已知二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象过 $ A(2, 0) $,$ B(0, -1) $ 和 $ C(4, 5) $ 三点。
(1)求二次函数的解析式；
(2)设二次函数的图象与 $ x $ 轴的另一个交点为 $ D $,求点 $ D $ 的坐标；
(3)在同一坐标系中画出直线 $ y = x + 1 $,并写出当 $ x $ 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值。

答案： （1）二次函数的解析式为$ y=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}x-1 $;（2）点D的坐标为$ (-1,0) $;（3）x的取值范围为$ -1＜x＜4 $

23. (8 分)如图,抛物线 $ y = x^{2} + bx + c $ 经过坐标原点,并与 $ x $ 轴交于点 $ A(2, 0) $。
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线上有一点 $ B $,且 $ S_{\triangle OAB} = 3 $,求点 $ B $ 的坐标。

答案： （1）$ y=x^{2}-2x $;（2）点B的坐标为$ (3,3) $或$ (-1,3) $